梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 1 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。
L = 4 mP = 35 kN 位于 1.5 mM = 10 kN·m (逆时针) 位于 1 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 6 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 7 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 3 m 处的集中荷载 Q。 求滚动支座处的反力 RD。
AC = 6 mAD = 10 mP = 40 kN 位于 7 mw = 12 kN/m，从 6 到 10 mQ = 50 kN 位于 3 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
20 kN @ 6 m60 kN @ 8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 15 kN 位于 2.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 mx = 4.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓G: 40 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 30 kN ↓F: 40 kN ↓G: 30 kN ↓H: 40 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 10.63 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·4 − 35·1.5 + 10 = 0
RB = 42.5/4 = 10.63 kN
竖向平衡
RA = 35 − 10.63 = 24.38 kN
答案
RB = 10.63 kN
负的反力向下作用。
2.梁的支座反力
答案: RD = 34 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
W = 12·4 = 48 kN 位于 2 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·4 = 40·1 + 48·2
RD = 34 kN
VC = 88 − 34 = 54 kN
答案
RD = 34 kN
3.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 30 kN, R2 = 50 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 60, MC = 120, MD = 180, ME = 200 kN·m, MF = 100, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 200 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 9.375 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·2.5 + 5·5·2.5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20·4.5 − 15·(4.5 − 2.5) − 5·4.5·2.25 = 9.375 kN·m
答案
Mx = 9.375 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 24.38 kN (T), BC: 41.25 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 28.12 kN (T), FG: 24.38 kN (C), GH: 28.12 kN (C), AF: 40.63 kN (C), HE: 46.87 kN (C), BF: 32.5 kN (T), CG: 0, DH: 37.5 kN (T), BG: 28.13 kN (C), DG: 21.88 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 40 kN (T), BC: 66.67 kN (T), CD: 66.67 kN (T), DE: 53.33 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 93.33 kN (C), AF: 100 kN (C), HE: 66.67 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), BG: 33.33 kN (C), DG: 16.67 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δmax = 7.09 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 7.09 mm
答案
δmax = 7.09 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 240 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22.22) = 2.4 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 240 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 240 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 17.3 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17.3 kN
答案
Pcr = 17.3 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 27.76 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
答案
σcr = 27.76 MPa
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