梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 4.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处的竖向反力 RA。
L = 5 mP = 80 kN 位于 4.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 10 kN/m；另在距墙 5.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 6 mw0 = 10 kN/mP = 15 kN 位于 5.5 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 1 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 50 kN·m，没有其他荷载。 求力偶右侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mM0 = 50 kN·m 顺时针，作用于 1 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 35 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓G: 15 kN ↓H: 40 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 15 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 24 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 24 kNL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 110 kN
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
分布荷载的合力
W = 6·5 = 30 kN, x̄ = 2.5 m
竖向平衡
RA = P + W = 80 + 30 = 110 kN
答案
RA = 110 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 202.5 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·10·6 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 30·4 + 15·5.5 = 202.5 kN·m
答案
MA = 202.5 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 45 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 50/10 = 5 kN (向上)
RA = −RB = −5 kN (向下)
在力偶右侧紧邻处截开
左侧部分现在包含 RA 和力偶。
Mx = RA·a + M0 = −5·1 + 50 = 45 kN·m
答案
Mx = 45 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 12.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 4·4·2
RB = 102/4 = 25.5 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 25.5 = 25.5 kN
在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 25.5·0.5 − 4·0.5·0.25 = 12.25 kN·m
答案
Mx = 12.25 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 DH
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 D
CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 50 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 70.71 kN (C), HE: 84.85 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 42.43 kN (T), HC: 28.28 kN (T)
答案
零杆: DH
6.桁架：节点法
答案: FAB = −10.31 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 20·1 + 15·4 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 10 = 10 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0.9701 = −10.31 kN
答案
FAB = −10.31 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δP = 4.253 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 24000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2500²·3500²/(3·2.4 × 10¹³·6000) = 4.253 mm
答案
δP = 4.253 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 11.85 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 24000 N, L = 4000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
一个荷载位于 L/3 处
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 5.926 mm
两个荷载相加
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 11.85 mm
答案
δmax = 11.85 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 17.8 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2100² = 17797 N = 17.8 kN
答案
Pcr = 17.8 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 111 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答案
σcr = 111 MPa
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