结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w0​ = 15 kN/mABRA​ = ?8 m

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 15 kN/m。 求竖向支座反力 RA。

L = 8 mw0 = 15 kN/m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 80 kN, 30°Q = 15 kNABRA​ = ?0.5 m1.5 m3 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 0.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处总反力 RA 的大小。

L = 5 mP = 80 kN 位于 0.5 m, θ = 30°Q = 15 kN 位于 2 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
M0​ = 20 kN·mAB4 m4 m

简支梁在距 A 为 x = 4 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 20 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mM0 = 20 kN·m 顺时针，作用于 4 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
10 kN/m40 kN35 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 0 m35 kN @ 6 m50 kN @ 4 m10 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB25 kN6 m1 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB60 kN30 kN8 m3 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 30 kN →
FBC = kN
7.梁的挠度中等
P = 8 kNABδ3 m5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 3 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 8 kNa = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 6 kN/mδL = 2.5 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 6 md = 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 95 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 95 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 95 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 20 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·15·8 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 60·5.333
RB = 40 kN
RA = 60 − 40 = 20 kN

答案

RA = 20 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 82.61 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

Pv = 80·sin 30° = 40 kN
Ph = 80·cos 30° = 69.28 kN

反力

ΣMA = 0: RB·5 = 40·0.5 + 15·2 → RB = 10 kN
Ay = 40 + 15 − 10 = 45 kN
Ax = Ph = 69.28 kN

A 处的合力

RA = √(69.28² + 45²) = 82.61 kN

答案

RA = 82.61 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = −10 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 20/8 = 2.5 kN (向上)
RA = −RB = −2.5 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 RA。

Mx = RA·a = −2.5·4 = −10 kN·m

答案

Mx = −10 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: B (x = 1 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 73.75 kN, R2 = 91.25 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −40 kN·m, MC = −11.25, MD = 7.5, ME = 16.25, MF = −35, MG = 0

答案

标记点 B: MB = −40 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −6.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·1 → Cy = 4.167 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 4.167 = 20.83 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4.167/0.6247 = −6.67 kN

答案

FBC = −6.67 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −60.03 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·3 + 30·4 → Cy = 37.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 37.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37.5/0.6247 = −60.03 kN

答案

FBC = −60.03 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δP = 2.344 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 8000 N, a = 3000 mm, b = 5000 mm, L = 8000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 8000·3000²·5000²/(3·3.2 × 10¹³·8000) = 2.344 mm

答案

δP = 2.344 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 6.278 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·2500⁴/(384·70000·6.944) = 6.278 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6.278 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 6.278 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 38.59 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 1·6000 = 6000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38.59 kN

答案

Pcr = 38.59 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 86.08 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 86.08 mm

答案

d = 86.08 mm

校核：长细比 KL/r 为 130.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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