结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P = 60 kNM = 20 kN·mABRA​ = ?4 m0.5 m0.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 4.5 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 RA，以向上为正。

L = 5 mP = 60 kN 位于 4 mM = 20 kN·m (顺时针) 位于 4.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?RB​3 m0.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 5 mP = 30 kN 位于 3.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 3 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 45 kNP2​ = 10 kNAB2 m0.5 m1.5 m

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 4 mP1 = 45 kN 位于 2 mP2 = 10 kN 位于 2.5 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 4 kN/mABC6 m1 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。

L = 7 mw = 4 kN/m，从 0 到 7 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB60 kN8 m5 m2 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 60 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB55 kN30 kN5 m4 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 30 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
w = 2 kN/mδL = 2 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 20 kN/mδL = 5 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 20 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 4 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 5 kNL = 2.5 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 5 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 8 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·5 − 60·4 − 20 = 0
RB = 260/5 = 52 kN

竖向平衡

RA = 60 − 52 = 8 kN

答案

RA = 8 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: RA = 15.3 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​RB​3 m0.5 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·3.5 + 3·3·1.5
RB = 118.5/5 = 23.7 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 23.7 = 15.3 kN

答案

RA = 15.3 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mmax = 52.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 10·2.5
RB = 115/4 = 28.75 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 28.75 = 26.25 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P1: M = RA·2 = 26.25·2 = 52.5 kN·m
荷载点 P2: M = RB·1.5 = 28.75·1.5 = 43.13 kN·m

最大值

Mmax = 52.5 kN·m (荷载点 P1)

答案

Mmax = 52.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 17.01 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·7·3.5
RB = 98/6 = 16.33 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 16.33 = 11.67 kN

剪力为零

RA − w·x0 = 0 → x0 = 11.67/4 = 2.917 m

最大正弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 11.67²/(2·4) = 17.01 kN·m

答案

Mmax = 17.01 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 56.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·5 → Cy = 37.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 37.5 = 22.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37.5/0.5547 = −67.6 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−67.6)·0.8321 = 56.25 kN

答案

FAC = 56.25 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 17 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·4 + 30·4 → Cy = 68 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 68 = −13 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −68/0.9701 = −70.09 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−70.09)·0.2425 = 17 kN

答案

FAC = 17 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δ = 3.03 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 3.03 mm

答案

δ = 3.03 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 1065 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·5000⁴/(384·11000·13.89) = 1.065 × 10⁹ mm⁴
Ireq = 1065 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 1065 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 78.48 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 1·4000 = 4000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN

答案

Pcr = 78.48 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 40.08 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 40.08 mm

答案

d = 40.08 mm

校核：长细比 KL/r 为 499，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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