结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 30 kNP2​ = 60 kNABCRA​ = ?3 m2 m3 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 30 kN 位于 3 mP2 = 60 kN 位于 8 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 30 kN, 60°Q = 35 kNABRA​ = ?3 m4 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 7 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 60°；距 A 为 3 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处总反力 RA 的大小。

L = 8 mP = 30 kN 位于 7 m, θ = 60°Q = 35 kN 位于 3 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 4 kN/mAB截面6.5 m1.5 m

求距支座 A 为 x = 6.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 4 kN/m，从 0 到 8 mx = 6.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
15 kN/m50 kN60 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 0 m60 kN @ 6 m50 kN @ 3 m15 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB30 kN8 m7 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 30 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB15 kN20 kN8 m6 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 20 kN →
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 5 kN/mδL = 2 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 15 kN/mδL = 2.5 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 6 m50 × 80 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 3 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = −24 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·5 = 30·3 + 60·8
RB = 570/5 = 114 kN

竖向平衡

RA = 30 + 60 − 114 = −24 kN

答案

RA = −24 kN

RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: RA = 29.26 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

Pv = 30·sin 60° = 25.98 kN
Ph = 30·cos 60° = 15 kN

反力

ΣMA = 0: RB·8 = 25.98·7 + 35·3 → RB = 35.86 kN
Ay = 25.98 + 35 − 35.86 = 25.12 kN
Ax = Ph = 15 kN

A 处的合力

RA = √(15² + 25.12²) = 29.26 kN

答案

RA = 29.26 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 19.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16截面6.5 m1.5 m

在 x = 6.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 16·6.5 − 4·6.5·3.25 = 19.5 kN·m

答案

Mx = 19.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 65.83 kN, R2 = 139.2 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −50, MC = −41.67, MD = −48.33, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

答案

标记点 E: ME = −120 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −29.35 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 → Cy = 26.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 26.25 = 3.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −26.25/0.8944 = −29.35 kN

答案

FBC = −29.35 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −23.76 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB15 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·6 + 20·4 → Cy = 21.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 21.25 = −6.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21.25/0.8944 = −23.76 kN

答案

FBC = −23.76 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 16.81 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·5.95 × 10¹¹) = 16.81 mm

答案

δ = 16.81 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.569 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 11.42 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

计算长度

KL = 2·6000 = 12000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/12000² = 11423 N = 11.42 kN

答案

Pcr = 11.42 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 24.48 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/12.5 = 168

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24.48 MPa

答案

σcr = 24.48 MPa

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