结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP₁ = 15 kN 位于 0.5 mP₂ = 35 kN 位于 4 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 55 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 5 到 8 m

R_B = kN

3.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP₁ = 25 kN 位于 1 mP₂ = 40 kN 位于 2 m

M_max = kN·m

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 25 kN 位于 2.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓F: 10 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 25 kN ←

F_AC = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 59 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 15·0.5 + 35·4

R_B = 147.5/2.5 = 59 kN

竖向平衡

R_A = 15 + 35 − 59 = −9 kN

答案

R_B = 59 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: R_B = 13.3 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN，作用于 x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·1 + 4·3·6.5

R_B = 133/10 = 13.3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 13.3 = 53.7 kN

答案

R_B = 13.3 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_max = 84 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·1 + 40·2

R_B = 105/10 = 10.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 10.5 = 54.5 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1 = 54.5·1 = 54.5 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·8 = 10.5·8 = 84 kN·m

最大值

M_max = 84 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 84 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 71.46 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2.5 + 8·6·3

R_B = 206.5/6 = 34.42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 34.42 = 38.58 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 38.58·2.5 − 8·2.5·1.25 = 71.46 kN·m

答案

M_x = 71.46 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 47.5 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 37.5 kN (T), FG: 47.5 kN (C), GH: 37.5 kN (C), AF: 67.18 kN (C), HE: 53.03 kN (C), BF: 37.5 kN (T), CG: 0, DH: 12.5 kN (T), BG: 3.536 kN (C), DG: 17.68 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 23.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·6 − 25·2 → C_y = 23.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 23.75 = 16.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −23.75/0.7071 = −33.59 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33.59)·0.7071 = 23.75 kN

答案

F_AC = 23.75 kN (受拉)

7.梁的挠度

答案: δ_max = 3.348 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 3.348 mm

答案

δ_max = 3.348 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·70000·22.22) = 1.714 × 10⁸ mm⁴

I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 29.48 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2500² = 29477 N = 29.48 kN

答案

P_cr = 29.48 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 34.27 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/6.25 = 240

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

答案

σ_cr = 34.27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis