结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 35 kNP2​ = 30 kNABCRA​ = ?1.5 m1 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP1 = 35 kN 位于 1.5 mP2 = 30 kN 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 12 kN/mP = 30 kNADCRD​ = ?5 m3 m2 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 8 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w。 求滚动支座处的反力 RD。

AC = 5 mAD = 10 mP = 30 kN 位于 8 mw = 12 kN/m，从 5 到 10 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 2 kN/mAB截面4 m4 m

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 5 kN/mP = 35 kNAB截面7 m1 m

求距支座 A 为 x = 7 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 35 kN 位于 7 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 7 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB50 kN5 m2 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB20 kN15 kN5 m4 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 15 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 6 kN/mδL = 2 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 15 kN/mP = 5 kNδL = 2.5 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 5 kNw = 15 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m25 × 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1.5 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = −4 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·2.5 = 35·1.5 + 30·4
RB = 172.5/2.5 = 69 kN

竖向平衡

RA = 35 + 30 − 69 = −4 kN

答案

RA = −4 kN

RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: RD = 48 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 12·5 = 60 kN 位于 2.5 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·5 = 30·3 + 60·2.5
RD = 48 kN
VC = 90 − 48 = 42 kN

答案

RD = 48 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 16 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·8·4
RB = 64/8 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8截面4 m4 m

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 8·4 − 2·4·2 = 16 kN·m

答案

Mx = 16 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 48.13 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·7 + 5·8·4
RB = 405/8 = 50.63 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 50.63 = 24.38 kN
w = 5 kN/mP = 35 kNABRA​ = 24.38RB​ = 50.63截面7 m1 m

在 x = 7 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24.38·7 − 5·7·3.5 = 48.13 kN·m

答案

Mx = 48.13 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −28.28 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 20 = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0.7071 = −28.28 kN

答案

FBC = −28.28 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = 8.333 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 + 15·3 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 25 = −5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−5/0.6 = 8.333 kN

答案

FAB = 8.333 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δ = 47.43 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·2.53 × 10¹¹) = 47.43 mm

答案

δ = 47.43 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 3.673 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 5000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 5000·2500³/(48·2.52 × 10¹²) = 0.6459 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 3.028 mm

相加

δmax = 0.6459 + 3.028 = 3.673 mm

答案

δmax = 3.673 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 29.14 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2100² = 29141 N = 29.14 kN

答案

Pcr = 29.14 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 8.567 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/6.25 = 480

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

答案

σcr = 8.567 MPa

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