梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 4 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 RA，以向上为正。
L = 5 mP = 10 kN 位于 2 mM = 10 kN·m (顺时针) 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 7 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。
L = 8 mP = 75 kN 位于 5 m, θ = 40°Q = 40 kN 位于 7 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 mx = 3.5 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP = 20 kN 位于 4 mw = 12 kN/m，从 0 到 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 40 kN ↓D: 20 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 10 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 11 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 19 kNL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 120 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 120 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 4 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·5 − 10·2 − 10 = 0
RB = 30/5 = 6 kN
竖向平衡
RA = 10 − 6 = 4 kN
答案
RA = 4 kN
负的反力向下作用。
2.梁的支座反力
答案: α = 21.88 °
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
P 的分量
Pv = 75·sin 40° = 48.21 kN
Ph = 75·cos 40° = 57.45 kN
反力
ΣMA = 0: RB·8 = 48.21·5 + 40·7 → RB = 65.13 kN
Ay = 48.21 + 40 − 65.13 = 23.08 kN
Ax = Ph = 57.45 kN
A 处的方向
α = atan(Ay/Ax) = atan(23.08/57.45) = 21.88°
答案
α = 21.88°
3.剪力和弯矩
答案: Vx = 15 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 50 − 10·3.5 = 15 kN
答案
Vx = 15 kN
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 192 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·4 + 12·10·5
RB = 680/10 = 68 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 68 = 72 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 72·4 − 12·4·2 = 192 kN·m
答案
Mx = 192 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 35 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 49.5 kN (C), HE: 35.36 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 7.071 kN (C), HC: 7.071 kN (T)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FAB = −18.75 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 − 10·4 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0.8 = −18.75 kN
答案
FAB = −18.75 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δ = 17.78 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 11000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 11000·4000³/(3·1.68 × 10¹³) = 13.97 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 3.81 mm
相加
δ = 13.97 + 3.81 = 17.78 mm
答案
δ = 17.78 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 31.67 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 19000 N, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
一个荷载位于 L/3 处
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 15.83 mm
两个荷载相加
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 31.67 mm
答案
δmax = 31.67 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 506.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506.2 kN
答案
Pcr = 506.2 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 39.67 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·120000 = 240000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 39.67 mm
答案
d = 39.67 mm
校核：长细比 KL/r 为 100.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis