结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 50 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?3 m3 m4 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 10 mP1 = 50 kN 位于 3 mP2 = 30 kN 位于 6 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w0​ = 12 kN/mP = 80 kNABMA​ = ?1.5 m2.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 12 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 4 mw0 = 12 kN/mP = 80 kN 位于 1.5 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
w = 4 kN/mAB截面0.5 m7.5 m

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 4 kN/m，从 0 到 8 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mP = 30 kNAB截面4 m1.5 m2.5 m

求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 30 kN 位于 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 5.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB60 kN4 m3 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB25 kN5 kN8 m3 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 5 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
P = 9 kNABδ6 m2 m

简支梁在距支座 A 为 a = 6 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 9 kNa = 6 mL = 8 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 4 kN/mP = 22 kNδL = 6 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 22 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 135 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 135 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 33 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 50 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​3 m3 m4 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·10 = 50·3 + 30·6
RB = 330/10 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 33 = 47 kN

答案

RB = 33 kN
2.梁的支座反力

答案: MA = 152 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·12·4 = 24 kN
x̄ = L/3 = 1.333 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 24·1.333 + 80·1.5 = 152 kN·m

答案

MA = 152 kN·m
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 7.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16截面0.5 m7.5 m

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 16·0.5 − 4·0.5·0.25 = 7.5 kN·m

答案

Mx = 7.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 51.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·4 + 2·8·4
RB = 184/8 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 23 = 23 kN
w = 2 kN/mP = 30 kNABRA​ = 23RB​ = 23截面4 m1.5 m2.5 m

在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 23·5.5 − 30·(5.5 − 4) − 2·5.5·2.75 = 51.25 kN·m

答案

Mx = 51.25 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −27.04 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0.5547 = −27.04 kN

答案

FAB = −27.04 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −11.01 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·3 − 5·4 → Cy = 6.875 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6.875 = 18.13 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.875/0.6247 = −11.01 kN

答案

FBC = −11.01 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δP = 30.68 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 9000 N, a = 6000 mm, b = 2000 mm, L = 8000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·6000²·2000²/(3·1.76 × 10¹²·8000) = 30.68 mm

答案

δP = 30.68 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 41.73 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 22000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 22000·6000³/(48·3.99 × 10¹²) = 24.81 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 16.92 mm

相加

δmax = 24.81 + 16.92 = 41.73 mm

答案

δmax = 41.73 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 81 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1750² = 80996 N = 81 kN

答案

Pcr = 81 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 98.37 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 98.37 mm

答案

d = 98.37 mm

校核：长细比 KL/r 为 113.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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