结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 45 kNP2​ = 60 kNABRA​ = ?RB​2.5 m0.5 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 5 mP1 = 45 kN 位于 2.5 mP2 = 60 kN 位于 3 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 60 kN, 40°Q = 70 kNABα = ?1 m7 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 1 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 8 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 10 mP = 60 kN 位于 1 m, θ = 40°Q = 70 kN 位于 8 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
w = 5 kN/mAB截面2.5 m5.5 m

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 6 kN/mP = 30 kNAB截面5 m1 m

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 30 kN 位于 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB55 kN6 m5 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 55 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB40 kN15 kN5 m4 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 15 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 12 kN/mδL = 4 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 5 kN/mAB5 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 5 mw = 5 kN/m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 3 md = 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 35 kNL = 1.5 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 35 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 46.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 45 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​2.5 m0.5 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 45·2.5 + 60·3
RB = 292.5/5 = 58.5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 58.5 = 46.5 kN

答案

RA = 46.5 kN
2.梁的支座反力

答案: α = 46.66 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

Pv = 60·sin 40° = 38.57 kN
Ph = 60·cos 40° = 45.96 kN

反力

ΣMA = 0: RB·10 = 38.57·1 + 70·8 → RB = 59.86 kN
Ay = 38.57 + 70 − 59.86 = 48.71 kN
Ax = Ph = 45.96 kN

A 处的方向

α = atan(Ay/Ax) = atan(48.71/45.96) = 46.66°

答案

α = 46.66°
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 34.38 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20截面2.5 m5.5 m

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20·2.5 − 5·2.5·1.25 = 34.38 kN·m

答案

Mx = 34.38 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 40 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·5 + 6·6·3
RB = 258/6 = 43 kN
ΣFy = 0: RA = 66 − 43 = 23 kN
w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​ = 23RB​ = 43截面5 m1 m

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 23·5 − 6·5·2.5 = 40 kN·m

答案

Mx = 40 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −51.24 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·5 → Cy = 45.83 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 45.83 = 9.167 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45.83/0.8944 = −51.24 kN

答案

FBC = −51.24 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −24.24 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·4 − 15·3 → Cy = 23 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 23 = 17 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −23/0.9487 = −24.24 kN

答案

FBC = −24.24 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 53.33 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 53.33 mm

答案

δ = 53.33 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 9.375 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9.375 kN

答案

RB = 9.375 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 154.3 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154.3 kN

答案

Pcr = 154.3 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 65.65 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 65.65 mm

答案

d = 65.65 mm

校核：长细比 KL/r 为 182.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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