结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 15 kN 位于 1.5 mP₂ = 35 kN 位于 2.5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 40 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 1 到 2 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 6.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 6.5 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 40 kN 位于 3 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 40 kN ↓F: 15 kN ↓F: 20 kN →

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 3 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 16 kNa = 3 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 2 m 处承受集中荷载 P。求跨中挠度 δ_mid。

P = 23 kNb = 2 mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 22.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1.5 + 35·2.5

R_B = 110/4 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 27.5 = 22.5 kN

答案

R_A = 22.5 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 31.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1.5 + 10·1·1.5

R_B = 75/4 = 18.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 18.75 = 31.25 kN

答案

R_A = 31.25 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_x = 45.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 6.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 20·6.5 − 4·6.5·3.25 = 45.5 kN·m

答案

M_x = 45.5 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 36 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 4·4·2

R_B = 152/4 = 38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 38 = 18 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 18·3 − 4·3·1.5 = 36 kN·m

答案

M_x = 36 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 10 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 5 = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0.4472 = −11.18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11.18)·0.8944 = 10 kN

答案

F_AC = 10 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 68.33 kN (T), BC: 68.33 kN (T), CD: 58.33 kN (T), DE: 58.33 kN (T), FG: 63.33 kN (C), GH: 63.33 kN (C), AF: 60.42 kN (C), HE: 72.92 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 6.25 kN (C), HC: 6.25 kN (T)

答案

零杆: CG

7.梁的挠度

答案: δ_P = 17.14 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 16000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa³/(3EI) = 16000·3000³/(3·8.4 × 10¹²) = 17.14 mm

答案

δ_P = 17.14 mm

8.梁的挠度

答案: δ_mid = 23.43 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 23000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

跨中挠度

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 23000·2000·(3·8000² − 4·2000²)/(48·7.2 × 10¹²) = 23.43 mm

答案

δ_mid = 23.43 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 91.39 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1500² = 91385 N = 91.39 kN

答案

P_cr = 91.39 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 64.45 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64.45 MPa

答案

σ_cr = 64.45 MPa

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