梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 6 kN/m 减小到 B 处的零。 距 A 为 5 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RA。
L = 6 mw0 = 6 kN/mP = 40 kN 位于 5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 5 mP = 20 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 1 到 3 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 10 mP1 = 65 kN 位于 2 mP2 = 10 kN 位于 7 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP = 50 kN 位于 1.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 30 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
F: 25 kN ↓F: 30 kN →
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 7 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 3 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 75 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 75 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 18.67 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·6·6 = 18 kN
x̄ = L/3 = 2 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 18·2 + 40·5
RB = 39.33 kN
RA = 58 − 39.33 = 18.67 kN
答案
RA = 18.67 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 16 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·4 + 10·2·2
RB = 120/5 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 24 = 16 kN
答案
RA = 16 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mmax = 110 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·10 = 65·2 + 10·7
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 20 = 55 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·2 = 55·2 = 110 kN·m
荷载点 P2: M = RB·3 = 20·3 = 60 kN·m
最大值
Mmax = 110 kN·m (荷载点 P1)
答案
Mmax = 110 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 58.13 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1.5 + 6·4·2
RB = 123/4 = 30.75 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 30.75 = 43.25 kN
V = 0 在哪里？
V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 34.25 kN
V(1.5⁺) = 34.25 − 50 = −15.75 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 43.25·1.5 − 6·1.5²/2 = 58.13 kN·m
答案
Mmax = 58.13 kN·m
它出现在距 A 为 x = 1.5 m 处。
5.桁架：节点法
答案: FBC = −25.46 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 30·3 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 18 = 12 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18/0.7071 = −25.46 kN
答案
FBC = −25.46 kN (受压)
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 47.5 kN (T), BC: 31.67 kN (T), CD: 31.67 kN (T), DE: 15.83 kN (T), FG: 47.5 kN (C), GH: 15.83 kN (C), AF: 21.88 kN (C), HE: 19.79 kN (C), BF: 11.87 kN (C), CG: 0, DH: 11.88 kN (T), BG: 19.79 kN (T), DG: 19.79 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δP = 1.623 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 7000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 7000·1000²·4000²/(3·4.6 × 10¹²·5000) = 1.623 mm
答案
δP = 1.623 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 9.848 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 3000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 3000·4000³/(48·1.76 × 10¹²) = 2.273 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 7.576 mm
相加
δmax = 2.273 + 7.576 = 9.848 mm
答案
δmax = 9.848 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 12.21 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 1·6000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12.21 kN
答案
Pcr = 12.21 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 54.26 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 54.26 mm
答案
d = 54.26 mm
校核：长细比 KL/r 为 103.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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