结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 70 kNP2​ = 35 kNABCRA​ = ?1 m5 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。

AB = 6 mAC = 8 mP1 = 70 kN 位于 1 mP2 = 35 kN 位于 8 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 10 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?RB​3.5 m0.5 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 6 mP = 30 kN 位于 3.5 mw = 10 kN/m，从 4 到 5 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 4 kN/mAB截面2 m3 m

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 4 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
w = 8 kN/mAB2 m2 m1 m

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求从 A 到弯矩最大截面的距离 x0。

L = 5 mw = 8 kN/m，从 2 到 4 m
x0 = m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB25 kN6 m1 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB30 kN20 kN4 m3 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 20 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
P = 6 kNABδ2.5 m1.5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 6 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 4 kN/mδL = 5 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m30 × 80 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 6 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 46.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·6 = 70·1 + 35·8
RB = 350/6 = 58.33 kN

竖向平衡

RA = 70 + 35 − 58.33 = 46.67 kN

答案

RA = 46.67 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 15 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 10 kN/mP = 30 kNABRA​RB​3.5 m0.5 m1 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN，作用于 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·3.5 + 10·1·4.5
RB = 150/6 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN

答案

RA = 15 kN
3.剪力和弯矩

答案: Vx = 2 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·5·2.5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10截面2 m3 m

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 10 − 4·2 = 2 kN

答案

Vx = 2 kN
4.剪力和弯矩

答案: x0 = 2.8 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·2·3
RB = 48/5 = 9.6 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 9.6 = 6.4 kN

剪力为零

剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 6.4/8 = 2.8 m

答案

x0 = 2.8 m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −11.22 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·1 → Cy = 4.167 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 4.167 = 20.83 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4.167/0.3714 = −11.22 kN

答案

FBC = −11.22 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 10.63 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB30 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 + 20·4 → Cy = 42.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 42.5 = −12.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −42.5/0.9701 = −43.81 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43.81)·0.2425 = 10.63 kN

答案

FAC = 10.63 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δP = 11.21 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 6000·2500²·1500²/(3·6.27 × 10¹¹·4000) = 11.21 mm

答案

δP = 11.21 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 11.72 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13.89) = 1.172 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 11.72 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 11.72 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 80.57 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2100² = 80568 N = 80.57 kN

答案

Pcr = 80.57 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 25.18 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/15 = 280

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa

答案

σcr = 25.18 MPa

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