结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 30 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?3.5 m0.5 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP1 = 30 kN 位于 3.5 mP2 = 45 kN 位于 4 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w0​ = 4 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?2 m4 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 4 kN/m；另在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 6 mw0 = 4 kN/mP = 20 kN 位于 2 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 45 kNP2​ = 20 kNABC1 m7 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP1 = 45 kN 位于 1 mP2 = 20 kN 位于 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 8 kN/mABC5 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
MB = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB40 kN5 m1 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABCDEFGH40 kN40 kN25 kN4 × 4 m3 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓F: 40 kN →G: 25 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
w = 20 kN/mδL = 4 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 10 kN/mAB8 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 8 mw = 10 kN/m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 6 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 145 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 145 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 145 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 57 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 30 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​3.5 m0.5 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 30·3.5 + 45·4
RB = 285/5 = 57 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 57 = 18 kN

答案

RB = 57 kN
2.梁的支座反力

答案: MA = 88 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·4·6 = 12 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 12·4 + 20·2 = 88 kN·m

答案

MA = 88 kN·m
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 34.38 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·8 = 45·1 + 20·10
RB = 245/8 = 30.63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 30.63 = 34.38 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·1 = 34.38·1 = 34.38 kN·m

答案

Mx = 34.38 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: MB = −9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6.5 = 52 kN，作用于 x̄ = 3.25 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·6.5·3.25
RB = 169/5 = 33.8 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 33.8 = 18.2 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。

MB = −w·a²/2 = −8·1.5²/2 = −9 kN·m

答案

MB = −9 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −11.31 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·1 → Cy = 8 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 8 = 32 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8/0.7071 = −11.31 kN

答案

FBC = −11.31 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 86.67 kN (T), BC: 86.67 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 40 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 58.33 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 8.333 kN (C), HC: 50 kN (T)

答案

零杆: DH
7.梁的挠度

答案: δmax = 2.778 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 2.778 mm

答案

δmax = 2.778 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 30 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

答案

RB = 30 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 34.33 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34.33 kN

答案

Pcr = 34.33 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 56.38 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·145000 = 435000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 56.38 mm

答案

d = 56.38 mm

校核：长细比 KL/r 为 106.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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