梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 6 mAC = 10 mP1 = 65 kN 位于 5 mP2 = 60 kN 位于 10 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 10 mP = 10 kN 位于 3 mw = 3 kN/m，从 4 到 7 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mP = 55 kN 位于 5 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 50 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 20 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 8 mP = 15 kN 位于 4 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 30 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 154.2 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·6 = 65·5 + 60·10
RB = 925/6 = 154.2 kN
竖向平衡
RA = 65 + 60 − 154.2 = −29.17 kN
答案
RB = 154.2 kN
RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。
2.梁的支座反力
答案: RA = 11.05 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN，作用于 x̄ = 5.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·3 + 3·3·5.5
RB = 79.5/10 = 7.95 kN
ΣFy = 0: RA = 19 − 7.95 = 11.05 kN
答案
RA = 11.05 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 3.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 4·1.5 − 2·1.5·0.75 = 3.75 kN·m
答案
Mx = 3.75 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 53.33 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·5 + 3·6·3
RB = 329/6 = 54.83 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 54.83 = 18.17 kN
V = 0 在哪里？
V(5⁻) = RA − w·5 = 3.167 kN
V(5⁺) = 3.167 − 55 = −51.83 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·5 − w·5²/2 = 18.17·5 − 3·5²/2 = 53.33 kN·m
答案
Mmax = 53.33 kN·m
它出现在距 A 为 x = 5 m 处。
5.桁架：节点法
答案: FAC = 10.42 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 50·5 → Cy = 41.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 41.67 = 8.333 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −41.67/0.9701 = −42.95 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−42.95)·0.2425 = 10.42 kN
答案
FAC = 10.42 kN (受拉)
6.桁架：节点法
答案: FAC = 14.38 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 + 20·2 → Cy = 28.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 28.75 = −3.75 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −28.75/0.8944 = −32.14 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−32.14)·0.4472 = 14.38 kN
答案
FAC = 14.38 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δ = 11.36 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 11.36 mm
答案
δ = 11.36 mm
8.梁的挠度
答案: RB = 4.688 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4.688 kN
答案
RB = 4.688 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.449 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4200² = 4449 N = 4.449 kN
答案
Pcr = 4.449 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 41.95 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 41.95 mm
答案
d = 41.95 mm
校核：长细比 KL/r 为 190.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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