结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 7 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mP = 55 kN 位于 7 mw = 4 kN/m，从 0 到 5 m

M_A = kN·m

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 35 kN 位于 6 mw = 3 kN/m，从 2 到 7 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 6 kN/m，从 0 到 10 mx = 0.5 m

V_x = kN

4.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 12 m30 kN @ 6 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 55 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 40 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 2 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: M_A = 435 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2.5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 55·7 + 20·2.5 = 435 kN·m

答案

M_A = 435 kN·m

2.梁的支座反力

答案: R_A = 22.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·6 + 3·5·4.5

R_B = 277.5/10 = 27.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 27.75 = 22.25 kN

答案

R_A = 22.25 kN

3.剪力和弯矩

答案: V_x = 27 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 30 − 6·0.5 = 27 kN

答案

V_x = 27 kN

4.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 6 kN, R₂ = 91 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 4, M_C = −8, M_D = −36, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −140 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −24.68 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·5 → C_y = 45.83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 45.83 = 9.167 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/5.385 = 0.3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9.167/0.3714 = −24.68 kN

答案

F_AB = −24.68 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 7.5 kN (T), BC: 5 kN (T), CD: 5 kN (T), DE: 2.5 kN (T), FG: 27.5 kN (C), GH: 22.5 kN (C), AF: 45.83 kN (C), HE: 4.167 kN (C), BF: 3.333 kN (C), CG: 0, DH: 3.333 kN (T), BG: 4.167 kN (T), DG: 4.167 kN (C)

答案

零杆: CG

7.梁的挠度

答案: δ_max = 43.05 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 6000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 43.05 mm

答案

δ_max = 43.05 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 2.034 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 2000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·2000³/(48·1.7 × 10¹²) = 0.1961 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.838 mm

相加

δ_max = 0.1961 + 1.838 = 2.034 mm

答案

δ_max = 2.034 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 2.047 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

计算长度

KL = 2·1500 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/3000² = 2047 N = 2.047 kN

答案

P_cr = 2.047 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 22.56 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

回转半径和长细比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/20 = 175

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22.56 MPa

答案

σ_cr = 22.56 MPa

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