结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 8 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?1.5 m2.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 4 mP = 70 kN 位于 1.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​1.5 m0.5 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 55 kN 位于 1.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 2 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 8 kN/mAB截面1.5 m3.5 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 6 kN/mP = 10 kNAB截面1 m1 m2 m

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 10 kN 位于 1 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB10 kN8 m7 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 10 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB20 kN5 kN8 m3 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 5 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
P = 12 kNABδ3.5 m4.5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 12 kNa = 3.5 mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
P = 20 kNAB4 m4 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。

L = 8 mP = 20 kN 位于 4 m
MA = kN·m
9.柱的屈曲中等
PL = 2 m40 × 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 95 kNL = 2.5 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 95 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 95 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: MA = 169 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m

对墙的力矩

MA = P·a + W·x̄ = 70·1.5 + 32·2 = 169 kN·m

答案

MA = 169 kN·m
2.梁的支座反力

答案: RA = 41.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1.5 m0.5 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1.5 + 5·2·1
RB = 92.5/4 = 23.13 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 23.13 = 41.88 kN

答案

RA = 41.88 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 21 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·5·2.5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20截面1.5 m3.5 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20·1.5 − 8·1.5·0.75 = 21 kN·m

答案

Mx = 21 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 17 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 6·4·2
RB = 58/4 = 14.5 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 14.5 = 19.5 kN
w = 6 kN/mP = 10 kNABRA​ = 19.5RB​ = 14.5截面1 m1 m2 m

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 19.5·2 − 10·(2 − 1) − 6·2·1 = 17 kN·m

答案

Mx = 17 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −9.019 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·7 → Cy = 8.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8.75 = 1.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.75/0.9701 = −9.019 kN

答案

FBC = −9.019 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −20.33 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·3 − 5·3 → Cy = 5.625 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5.625 = 14.38 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −14.38/0.7071 = −20.33 kN

答案

FAB = −20.33 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δP = 51.68 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 12000 N, a = 3500 mm, b = 4500 mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 12000·3500²·4500²/(3·2.4 × 10¹²·8000) = 51.68 mm

答案

δP = 51.68 mm
8.梁的挠度

答案: MA = 30 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·20/16 = 6.25 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

MA = P·L/2 − RB·L = 80 − 50 = 30 kN·m

答案

MA = 30 kN·m
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 150.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/1400² = 150394 N = 150.4 kN

答案

Pcr = 150.4 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 115 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 115 mm

答案

d = 115 mm

校核：长细比 KL/r 为 173.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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