梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 4 kN/m 减小到 B 处的零。 求竖向支座反力 RA。
L = 5 mw0 = 4 kN/m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 1 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 2.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处总反力 RA 的大小。
L = 5 mP = 10 kN 位于 1 m, θ = 40°Q = 50 kN 位于 2.5 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求在距固定端 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 2.5 mP = 75 kN 位于 1.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 2.5 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 7 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP = 50 kN 位于 7 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 mx = 7 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 30 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 15 kN ↓C: 25 kN ↓D: 10 kN ↓F: 25 kN ↓F: 20 kN →H: 15 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 50 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。
w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 50 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 6.667 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·4·5 = 10 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1.667
RB = 3.333 kN
RA = 10 − 3.333 = 6.667 kN
答案
RA = 6.667 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 31.1 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
P 的分量
Pv = 10·sin 40° = 6.428 kN
Ph = 10·cos 40° = 7.66 kN
反力
ΣMA = 0: RB·5 = 6.428·1 + 50·2.5 → RB = 26.29 kN
Ay = 6.428 + 50 − 26.29 = 30.14 kN
Ax = Ph = 7.66 kN
A 处的合力
RA = √(7.66² + 30.14²) = 31.1 kN
答案
RA = 31.1 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = −39.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −75·0.5 = −37.5 kN·m
w: −2·1.5²/2 = −2.25 kN·m
Mx = −37.5 − 2.25 = −39.75 kN·m
答案
Mx = −39.75 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 136.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·7 + 3·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 50 = 30 kN
在 x = 7 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·7 − 3·7·3.5 = 136.5 kN·m
答案
Mx = 136.5 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FAC = 7.5 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22.5 = 7.5 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22.5/0.9487 = −23.72 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−23.72)·0.3162 = 7.5 kN
答案
FAC = 7.5 kN (受拉)
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 63.75 kN (T), BC: 63.75 kN (T), CD: 46.25 kN (T), DE: 46.25 kN (T), FG: 67.5 kN (C), GH: 67.5 kN (C), AF: 61.87 kN (C), HE: 65.41 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 5.303 kN (T), HC: 30.05 kN (T)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δmax = 19.84 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 19.84 mm
答案
δmax = 19.84 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 176.8 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·8.333) = 2.301 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.301 × 10⁷/50)1/3 = 176.8 mm
答案
hreq = 176.8 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.552 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
计算长度
KL = 2·4000 = 8000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/8000² = 5552 N = 5.552 kN
答案
Pcr = 5.552 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 15.67 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/10 = 210
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15.67 MPa
答案
σcr = 15.67 MPa
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