结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 10 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?2 m1.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP1 = 10 kN 位于 2 mP2 = 10 kN 位于 3.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 6 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?8 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 10 mP = 40 kN 位于 9 mw = 6 kN/m，从 8 到 9 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 12 kN/mAB截面3 m3 m

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 12 kN/mAB4 m3 m1 m

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求从 A 到弯矩最大截面的距离 x0。

L = 8 mw = 12 kN/m，从 4 到 7 m
x0 = m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB30 kN8 m6 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 30 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB40 kN30 kN4 m3 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 30 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
P = 17 kNABδ1.5 m0.5 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。

P = 17 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
P = 25 kNAB1.5 m1.5 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 3 mP = 25 kN 位于 1.5 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 m30 × 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 11 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 10 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​2 m1.5 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 10·2 + 10·3.5
RB = 55/5 = 11 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 11 = 9 kN

答案

RB = 11 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 41.1 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 6 kN/mP = 40 kNABRA​RB​8 m1 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN，作用于 x̄ = 8.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·9 + 6·1·8.5
RB = 411/10 = 41.1 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 41.1 = 4.9 kN

答案

RB = 41.1 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 54 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 36RB​ = 36截面3 m3 m

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 36·3 − 12·3·1.5 = 54 kN·m

答案

Mx = 54 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: x0 = 4.938 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN，作用于 x̄ = 5.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·3·5.5
RB = 198/8 = 24.75 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 24.75 = 11.25 kN

剪力为零

剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

RA − w·(x0 − 4) = 0
x0 = 4 + 11.25/12 = 4.938 m

答案

x0 = 4.938 m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −16.77 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·6 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22.5 = 7.5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/6.708 = 0.4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7.5/0.4472 = −16.77 kN

答案

FAB = −16.77 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = 9.014 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 + 30·2 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 45 = −5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−5/0.5547 = 9.014 kN

答案

FAB = 9.014 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δP = 22.77 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 17000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa³/(3EI) = 17000·1500³/(3·8.4 × 10¹¹) = 22.77 mm

答案

δP = 22.77 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 7.813 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·25/16 = 7.813 kN

答案

RB = 7.813 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 170.5 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1250² = 170547 N = 170.5 kN

答案

Pcr = 170.5 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 49.35 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答案

σcr = 49.35 MPa

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