结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 20 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?2.5 m0.5 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 4 mP1 = 20 kN 位于 2.5 mP2 = 60 kN 位于 3 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 5 kN/mP = 80 kNABCRB​ = ?3 m2 m3 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P，并从 5 m 到位于 8 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 5 mAC = 8 mP = 80 kN 位于 3 mw = 5 kN/m，从 5 到 8 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
6 kN/m20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 6 m6 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mP = 15 kNAB截面1 m4 m

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 15 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB45 kN5 m2 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 45 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB60 kN20 kN8 m5 m2 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 20 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
P = 2 kNABδ3 m1 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 3 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。

P = 2 kNa = 3 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 6 kN/mδL = 5 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 3 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 57.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 20 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​2.5 m0.5 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·4 = 20·2.5 + 60·3
RB = 230/4 = 57.5 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 57.5 = 22.5 kN

答案

RB = 57.5 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 67.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 5·3 = 15 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 80·3 + 15·6.5
RB = 337.5/5 = 67.5 kN
RA = 95 − 67.5 = 27.5 kN

答案

RB = 67.5 kN
3.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 26 kN, R2 = 42 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 52, MC = 104, MD = 144 kN·m, ME = 120, MF = 72, MG = 0

答案

标记点 D: MD = 144 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 16 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 2·5·2.5
RB = 40/5 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 8 = 17 kN
w = 2 kN/mP = 15 kNABRA​ = 17RB​ = 8截面1 m4 m

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 17·1 − 2·1·0.5 = 16 kN·m

答案

Mx = 16 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −32.45 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·2 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 18 = 27 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −27/0.8321 = −32.45 kN

答案

FAB = −32.45 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 63.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·5 + 20·2 → Cy = 42.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 42.5 = 17.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −42.5/0.5547 = −76.62 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−76.62)·0.8321 = 63.75 kN

答案

FAC = 63.75 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δP = 13.64 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 2000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa³/(3EI) = 2000·3000³/(3·1.32 × 10¹²) = 13.64 mm

答案

δP = 13.64 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 50.22 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·5000⁴/(384·70000·13.89) = 5.022 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 50.22 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 50.22 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 2.18 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 2·3000 = 6000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2.18 kN

答案

Pcr = 2.18 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 77.11 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa

答案

σcr = 77.11 MPa

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