梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 1 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。
L = 10 mP = 80 kN 位于 5 mM = 60 kN·m (逆时针) 位于 1 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P，并从 4 m 到位于 5 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RA，以向上为正。
AB = 4 mAC = 5 mP = 70 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 4 到 5 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P。 求在距固定端 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 3 mP = 30 kN 位于 2 mw = 8 kN/m，从 0 到 3 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 7.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
MB = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 30 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 5 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 50 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 50 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 135 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 34 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·10 − 80·5 + 60 = 0
RB = 340/10 = 34 kN
竖向平衡
RA = 80 − 34 = 46 kN
答案
RB = 34 kN
负的反力向下作用。
2.梁的支座反力
答案: RA = 17.25 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
分布荷载的合力
W = 2·1 = 2 kN, x̄ = (4 + 5)/2 = 4.5 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 70·3 + 2·4.5
RB = 219/4 = 54.75 kN
RA = 72 − 54.75 = 17.25 kN
答案
RA = 17.25 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = −46 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −30·1 = −30 kN·m
w: −8·2²/2 = −16 kN·m
Mx = −30 − 16 = −46 kN·m
答案
Mx = −46 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
4.剪力和弯矩
答案: MB = −9.375 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·7.5 = 22.5 kN，作用于 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·7.5·3.75
RB = 84.38/5 = 16.88 kN
ΣFy = 0: RA = 22.5 − 16.88 = 5.625 kN
在 B 处截开，保留外伸段
外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。
MB = −w·a²/2 = −3·2.5²/2 = −9.375 kN·m
答案
MB = −9.375 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 10 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 10 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 12.5 kN (C), HE: 37.5 kN (C), BF: 7.5 kN (T), CG: 0, DH: 22.5 kN (T), BG: 12.5 kN (C), DG: 12.5 kN (T)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FBC = −26.55 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·2 − 5·3 → Cy = 11.88 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 11.88 = 43.13 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11.88/0.4472 = −26.55 kN
答案
FBC = −26.55 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δmax = 14.53 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 14.53 mm
答案
δmax = 14.53 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 190.4 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2.876 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.876 × 10⁷/50)1/3 = 190.4 mm
答案
hreq = 190.4 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 177.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177.2 kN
答案
Pcr = 177.2 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 57.15 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 57.15 mm
答案
d = 57.15 mm
校核：长细比 KL/r 为 122.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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