梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 4 mP = 15 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 2.5 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 6 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 2 m 处的集中荷载 Q。 求滚动支座处的反力 RD。
AC = 4 mAD = 8 mP = 60 kN 位于 6 mw = 12 kN/m，从 4 到 8 mQ = 45 kN 位于 2 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求支座 B 左侧紧邻处的剪力 Vx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 9 mP1 = 40 kN 位于 1 mP2 = 80 kN 位于 9 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 60 kN 位于 2 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 40 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 15 kN ↓F: 30 kN ↓F: 30 kN →G: 25 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 0.5 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 29 kNa = 0.5 mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: MA = 53.75 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
分布荷载的合力
W = 10·2.5 = 25 kN, x̄ = 1.25 m
对墙的力矩
MA = P·a + W·x̄ = 15·1.5 + 25·1.25 = 53.75 kN·m
答案
MA = 53.75 kN·m
2.梁的支座反力
答案: RD = 54 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
W = 12·4 = 48 kN 位于 2 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·4 = 60·2 + 48·2
RD = 54 kN
VC = 108 − 54 = 54 kN
答案
RD = 54 kN
3.剪力和弯矩
答案: Vx = −15 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·8 = 40·1 + 80·9
RB = 760/8 = 95 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 95 = 25 kN
在 B 左侧紧邻处截开，保留左侧部分
Vx = RA − P1 = 25 − 40 = −15 kN
答案
Vx = −15 kN
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 85 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 8·6·3
RB = 264/6 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 108 − 44 = 64 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 64·3.5 − 60·(3.5 − 2) − 8·3.5·1.75 = 85 kN·m
答案
Mx = 85 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FBC = −33.54 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0.8944 = −33.54 kN
答案
FBC = −33.54 kN (受压)
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 61.25 kN (T), BC: 62.5 kN (T), CD: 62.5 kN (T), DE: 38.75 kN (T), FG: 61.25 kN (C), GH: 38.75 kN (C), AF: 44.19 kN (C), HE: 54.8 kN (C), BF: 1.25 kN (T), CG: 0, DH: 38.75 kN (T), BG: 1.768 kN (C), DG: 33.59 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δB = 6.042 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 29000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 0.7108 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.002132 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6.042 mm
答案
δB = 6.042 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·1500⁴/(384·70000·4.167) = 2.712 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 112.8 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1050² = 112795 N = 112.8 kN
答案
Pcr = 112.8 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 49.35 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/12.5 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
答案
σcr = 49.35 MPa
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