结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 15 kN 位于 1.5 mP₂ = 55 kN 位于 6 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 7 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 2 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 3 mAD = 10 mP = 75 kN 位于 7 mw = 10 kN/m，从 3 到 10 mQ = 70 kN 位于 2 m

M_A = kN·m

3.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 65 kN 位于 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP = 55 kN 位于 5 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 40 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 15 kN ←

F_AB = kN

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 0.5 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 30 kNa = 0.5 mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 6 mP = 25 kN 位于 3 m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 88.13 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1.5 + 55·6

R_B = 352.5/4 = 88.13 kN

竖向平衡

R_A = 15 + 55 − 88.13 = −18.13 kN

答案

R_B = 88.13 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: M_A = 341.4 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 10·7 = 70 kN 位于 3.5 m ，量自 C

ΣM_C = 0: R_D·7 = 75·4 + 70·3.5

R_D = 77.86 kN

V_C = 145 − 77.86 = 67.14 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 70 + 67.14 = 137.1 kN

M_A = 70·2 + 67.14·3 = 341.4 kN·m

答案

M_A = 341.4 kN·m

3.剪力和弯矩

答案: M_x = −181.3 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −65·2.5 = −162.5 kN·m

w: −6·2.5²/2 = −18.75 kN·m

M_x = −162.5 − 18.75 = −181.3 kN·m

答案

M_x = −181.3 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 53.33 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·5 + 3·6·3

R_B = 329/6 = 54.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 54.83 = 18.17 kN

V = 0 在哪里？

V(5⁻) = R_A − w·5 = 3.167 kN

V(5⁺) = 3.167 − 55 = −51.83 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 18.17·5 − 3·5²/2 = 53.33 kN·m

答案

M_max = 53.33 kN·m

它出现在距 A 为 x = 5 m 处。

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 30 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·6 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0.7071 = −42.43 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42.43)·0.7071 = 30 kN

答案

F_AC = 30 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −19.8 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·4 − 15·4 → C_y = −4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −4 = 14 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −14/0.7071 = −19.8 kN

答案

F_AB = −19.8 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_B = 14.71 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 30000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 2.101 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.006303 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 14.71 mm

答案

δ_B = 14.71 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 7.813 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·25/16 = 7.813 kN

答案

R_B = 7.813 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 308.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2000² = 308425 N = 308.4 kN

答案

P_cr = 308.4 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 226.6 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7.5 = 93.33

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93.33² = 226.6 MPa

答案

σ_cr = 226.6 MPa

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