结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?3.5 m1.5 m1 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 3.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处的竖向反力 RA。

L = 6 mP = 35 kN 位于 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 3.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m1 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP = 25 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 1 到 3 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 6 kN/mAB截面9.5 m0.5 m

求距支座 A 为 x = 9.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 6 kN/m，从 0 到 10 mx = 9.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 5 kN/mABC4 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。

L = 5.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5.5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB60 kN5 m1 m2 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 60 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB20 kN20 kN4 m3 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 20 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
w = 6 kN/mδL = 2.5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 5 kN/mAB4 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 4 mw = 5 kN/m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m30 × 80 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 55 kNL = 5 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 55 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 55 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 63 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 8·3.5 = 28 kN, x̄ = 1.75 m

竖向平衡

RA = P + W = 35 + 28 = 63 kN

答案

RA = 63 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 13.2 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m1 m1 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·2 + 4·2·2
RB = 66/5 = 13.2 kN
ΣFy = 0: RA = 33 − 13.2 = 19.8 kN

答案

RB = 13.2 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 14.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30截面9.5 m0.5 m

在 x = 9.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·9.5 − 6·9.5·4.75 = 14.25 kN·m

答案

Mx = 14.25 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 7.385 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5.5 = 27.5 kN，作用于 x̄ = 2.75 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·5.5·2.75
RB = 75.63/4 = 18.91 kN
ΣFy = 0: RA = 27.5 − 18.91 = 8.594 kN

剪力为零

RA − w·x0 = 0 → x0 = 8.594/5 = 1.719 m

最大正弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 8.594²/(2·5) = 7.385 kN·m

答案

Mmax = 7.385 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 24 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 12 = 48 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12/0.4472 = −26.83 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−26.83)·0.8944 = 24 kN

答案

FAC = 24 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 10 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 + 20·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 30 = −10 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0.9487 = −31.62 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−31.62)·0.3162 = 10 kN

答案

FAC = 10 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δ = 2.57 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 2.57 mm

答案

δ = 2.57 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 7.5 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·4/8 = 7.5 kN

答案

RB = 7.5 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 9.87 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

计算长度

KL = 2·3000 = 6000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/6000² = 9870 N = 9.87 kN

答案

Pcr = 9.87 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 64.57 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 64.57 mm

答案

d = 64.57 mm

校核：长细比 KL/r 为 216.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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