梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 8 mP1 = 50 kN 位于 2 mP2 = 40 kN 位于 3 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 10 mP = 55 kN 位于 8 mw = 12 kN/m，从 0 到 1 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
50 kN @ 4 m5 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 15 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 25 kN ↓H: 20 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 25 kN ↓H: 10 kN ↓H: 30 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 29 kNw = 8 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 10 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 10 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 62.5 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 40·3
RB = 220/8 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 27.5 = 62.5 kN
答案
RA = 62.5 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 44.6 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 0.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·8 + 12·1·0.5
RB = 446/10 = 44.6 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 44.6 = 22.4 kN
答案
RB = 44.6 kN
3.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 31.67 kN, R2 = 48.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 29.17, MC = 53.33, MD = 72.5, ME = 86.67 kN·m, MF = 45.83, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 86.67 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 18 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 3·5·2.5
RB = 52.5/5 = 10.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 10.5 = 19.5 kN
在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 19.5·1 − 3·1·0.5 = 18 kN·m
答案
Mx = 18 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 23.75 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 21.25 kN (T), FG: 23.75 kN (C), GH: 21.25 kN (C), AF: 33.59 kN (C), HE: 30.05 kN (C), BF: 23.75 kN (T), CG: 0, DH: 1.25 kN (T), BG: 1.768 kN (T), DG: 1.768 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 13.75 kN (C), BC: 2.5 kN (T), CD: 2.5 kN (T), DE: 18.75 kN (T), FG: 16.25 kN (C), GH: 48.75 kN (C), AF: 22.98 kN (C), HE: 26.52 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 8.75 kN (T), BG: 22.98 kN (C), DG: 22.98 kN (T)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δ = 5.234 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 29000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 29000·1500³/(3·7.2 × 10¹²) = 4.531 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 0.7031 mm
相加
δ = 4.531 + 0.7031 = 5.234 mm
答案
δ = 5.234 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 204.3 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·16.67) = 8.878 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·8.878 × 10⁷/125)1/3 = 204.3 mm
答案
hreq = 204.3 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.935 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
计算长度
KL = 1·6000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/6000² = 4935 N = 4.935 kN
答案
Pcr = 4.935 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 48 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 48 mm
答案
d = 48 mm
校核：长细比 KL/r 为 250，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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