结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 60 kN 位于 4 mP₂ = 50 kN 位于 10 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 40 kN 位于 9 mw = 8 kN/m，从 3 到 7 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 15 kN 位于 2 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 25 kN →

F_AB = kN

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 26 kNa = 1.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 30 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 123.3 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·4 + 50·10

R_B = 740/6 = 123.3 kN

竖向平衡

R_A = 60 + 50 − 123.3 = −13.33 kN

答案

R_B = 123.3 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: R_A = 20 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·9 + 8·4·5

R_B = 520/10 = 52 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 52 = 20 kN

答案

R_A = 20 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_x = 20.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 18·4.5 − 6·4.5·2.25 = 20.25 kN·m

答案

M_x = 20.25 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 54 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 12·5·2.5

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 36 = 39 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 39·2 − 12·2·1 = 54 kN·m

答案

M_x = 54 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 42.5 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 42.5 kN (C), GH: 47.5 kN (C), AF: 60.1 kN (C), HE: 67.18 kN (C), BF: 32.5 kN (T), CG: 0, DH: 27.5 kN (T), BG: 24.75 kN (C), DG: 17.68 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −11.31 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·2 + 25·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22 = 8 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8/0.7071 = −11.31 kN

答案

F_AB = −11.31 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_P = 14.31 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 26000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·1500²·4500²/(3·4.6 × 10¹²·6000) = 14.31 mm

答案

δ_P = 14.31 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 2.297 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 30000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·2000³/(48·3.99 × 10¹²) = 1.253 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.044 mm

相加

δ_max = 1.253 + 1.044 = 2.297 mm

答案

δ_max = 2.297 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 25.38 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1750² = 25379 N = 25.38 kN

答案

P_cr = 25.38 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 49.35 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/12.5 = 200

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答案

σ_cr = 49.35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis