梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 8 mAC = 10 mP1 = 35 kN 位于 7 mP2 = 80 kN 位于 10 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 8 mP = 55 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 2 到 8 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mP1 = 80 kN 位于 1 mP2 = 30 kN 位于 4.5 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 10 mw = 6 kN/m，从 4 到 8 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 30 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 30 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 18 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 5 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 130 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 130 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 130.6 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·8 = 35·7 + 80·10
RB = 1045/8 = 130.6 kN
竖向平衡
RA = 35 + 80 − 130.6 = −15.63 kN
答案
RB = 130.6 kN
RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。
2.梁的支座反力
答案: RA = 57.13 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·1 + 4·6·5
RB = 175/8 = 21.88 kN
ΣFy = 0: RA = 79 − 21.88 = 57.13 kN
答案
RA = 57.13 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mmax = 74.17 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 80·1 + 30·4.5
RB = 215/6 = 35.83 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 35.83 = 74.17 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·1 = 74.17·1 = 74.17 kN·m
荷载点 P2: M = RB·1.5 = 35.83·1.5 = 53.75 kN·m
最大值
Mmax = 74.17 kN·m (荷载点 P1)
答案
Mmax = 74.17 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 46.08 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·4·6
RB = 144/10 = 14.4 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 14.4 = 9.6 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 4) = 0
x0 = 4 + 9.6/6 = 5.6 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 4)²/2 = 9.6·5.6 − 6·1.6²/2 = 46.08 kN·m
答案
Mmax = 46.08 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FAC = 12 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 30·4 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 24 = 6 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24/0.8944 = −26.83 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−26.83)·0.4472 = 12 kN
答案
FAC = 12 kN (受拉)
6.桁架：节点法
答案: FBC = −23.57 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·4 − 30·2 → Cy = 16.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 16.67 = 23.33 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16.67/0.7071 = −23.57 kN
答案
FBC = −23.57 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δP = 2.901 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 18000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 18000·3500²·1500²/(3·1.14 × 10¹³·5000) = 2.901 mm
答案
δP = 2.901 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 56.02 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 5000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 5000·4000³/(48·5.95 × 10¹¹) = 11.2 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 44.82 mm
相加
δmax = 11.2 + 44.82 = 56.02 mm
答案
δmax = 56.02 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.968 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/4200² = 5968 N = 5.968 kN
答案
Pcr = 5.968 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 70.1 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·130000 = 260000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 70.1 mm
答案
d = 70.1 mm
校核：长细比 KL/r 为 171.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis