结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 2 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_B，以向上为正。

L = 8 mP = 35 kN 位于 4 mM = 20 kN·m (逆时针) 位于 2 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3.5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4.5 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 3 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 3.5 mAD = 6 mP = 25 kN 位于 4.5 mw = 3 kN/m，从 3.5 到 6 mQ = 55 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 35 kN 位于 1 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 50 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 5 kN ←

F_AB = kN

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 9 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 15 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·8 − 35·4 + 20 = 0

R_B = 120/8 = 15 kN

竖向平衡

R_A = 35 − 15 = 20 kN

答案

R_B = 15 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: M_A = 230.6 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 3·2.5 = 7.5 kN 位于 1.25 m ，量自 C

ΣM_C = 0: R_D·2.5 = 25·1 + 7.5·1.25

R_D = 13.75 kN

V_C = 32.5 − 13.75 = 18.75 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 55 + 18.75 = 73.75 kN

M_A = 55·3 + 18.75·3.5 = 230.6 kN·m

答案

M_A = 230.6 kN·m

3.剪力和弯矩

答案: M_x = 3.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 8·3.5 − 4·3.5·1.75 = 3.5 kN·m

答案

M_x = 3.5 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 52 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1 + 12·5·2.5

R_B = 185/5 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 37 = 58 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 58·1 − 12·1·0.5 = 52 kN·m

答案

M_x = 52 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 18.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 → C_y = 12.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 12.5 = 37.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12.5/0.5547 = −22.53 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22.53)·0.8321 = 18.75 kN

答案

F_AC = 18.75 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −51.39 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 − 5·3 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 11.25 = 48.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −48.75/0.9487 = −51.39 kN

答案

F_AB = −51.39 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_P = 2.484 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 9000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·2000²·1000²/(3·1.61 × 10¹²·3000) = 2.484 mm

答案

δ_P = 2.484 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 64.29 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·70000·11.11) = 6.429 × 10⁷ mm⁴

I_req = 64.29 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 64.29 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 4.935 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

计算长度

KL = 2·3000 = 6000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/6000² = 4935 N = 4.935 kN

答案

P_cr = 4.935 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 69.09 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

答案

σ_cr = 69.09 MPa

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