结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P = 10 kNM = 25 kN·mABRB​ = ?2 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 3 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。

L = 4 mP = 10 kN 位于 2 mM = 25 kN·m (顺时针) 位于 3 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
P = 25 kNADCMA​ = ?3.5 m1.5 m1 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3.5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5 m 处的集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

AC = 3.5 mAD = 6 mP = 25 kN 位于 5 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 25 kNP2​ = 15 kNAB3 m3 m2 m

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 8 mP1 = 25 kN 位于 3 mP2 = 15 kN 位于 6 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 4 kN/mP = 15 kNAB截面2 m4 m

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 15 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB45 kN5 m2 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 45 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB40 kN5 kN8 m2 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 5 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 6 kN/mδL = 2.5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 10 kN/mAB5 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。

L = 5 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
9.柱的屈曲中等
PL = 5 m40 × 60 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 3 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 11.25 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·4 − 10·2 − 25 = 0
RB = 45/4 = 11.25 kN

竖向平衡

RA = 10 − 11.25 = −1.25 kN

答案

RB = 11.25 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: MA = 35 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣMC = 0: RD·2.5 = 25·1.5
RD = 15 kN
VC = 25 − 15 = 10 kN

AC 段

铰力 VC 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

RA = 10 = 10 kN
MA = 10·3.5 = 35 kN·m

答案

MA = 35 kN·m
3.剪力和弯矩

答案: Mmax = 58.13 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 25·3 + 15·6
RB = 165/8 = 20.63 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20.63 = 19.38 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P1: M = RA·3 = 19.38·3 = 58.13 kN·m
荷载点 P2: M = RB·2 = 20.63·2 = 41.25 kN·m

最大值

Mmax = 58.13 kN·m (荷载点 P1)

答案

Mmax = 58.13 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 36 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 4·6·3
RB = 102/6 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 17 = 22 kN
w = 4 kN/mP = 15 kNABRA​ = 22RB​ = 17截面2 m4 m

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 22·2 − 4·2·1 = 36 kN·m

答案

Mx = 36 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −38.18 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·2 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 18 = 27 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −27/0.7071 = −38.18 kN

答案

FAB = −38.18 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −13.52 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·2 − 5·4 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 7.5 = 32.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.5547 = −13.52 kN

答案

FBC = −13.52 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 12.21 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 12.21 mm

答案

δ = 12.21 mm
8.梁的挠度

答案: MA = 31.25 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·5/8 = 18.75 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

MA = wL²/2 − RB·L = 125 − 93.75 = 31.25 kN·m

答案

MA = 31.25 kN·m
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 8.843 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

计算长度

KL = 1·5000 = 5000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/5000² = 8843 N = 8.843 kN

答案

Pcr = 8.843 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 49.35 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/7.5 = 200

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答案

σcr = 49.35 MPa

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