结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 10 kN 位于 1.5 mP₂ = 50 kN 位于 2 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 10 kN 位于 7 mw = 5 kN/m，从 8 到 9 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 mx = 1 m

V_x = kN

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP = 60 kN 位于 3 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_BC = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 h_req。

w = 3 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 31.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1.5 + 50·2

R_B = 115/4 = 28.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 28.75 = 31.25 kN

答案

R_A = 31.25 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 3.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN，作用于 x̄ = 8.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·7 + 5·1·8.5

R_B = 112.5/10 = 11.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 11.25 = 3.75 kN

答案

R_A = 3.75 kN

3.剪力和弯矩

答案: V_x = 9 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 12 − 3·1 = 9 kN

答案

V_x = 9 kN

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 231.2 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 10·10·5

R_B = 680/10 = 68 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 68 = 92 kN

V = 0 在哪里？

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (92 − 60)/10 = 3.2 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 3) − w·x₀²/2 = 231.2 kN·m

答案

M_max = 231.2 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3.2 m 处。

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 25 kN (T), BC: 16.67 kN (T), CD: 16.67 kN (T), DE: 8.333 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 8.333 kN (C), AF: 31.25 kN (C), HE: 10.42 kN (C), BF: 6.25 kN (C), CG: 0, DH: 6.25 kN (T), BG: 10.42 kN (T), DG: 10.42 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −15.84 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·5 − 20·2 → C_y = 14.17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 14.17 = 10.83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14.17/0.8944 = −15.84 kN

答案

F_BC = −15.84 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.01063 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·6.27 × 10¹¹) = 0.01063 rad

答案

θ_A = 0.01063 rad

即 0.6092°。

8.梁的挠度

答案: h_req = 321.2 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·6000⁴/(384·11000·16.67) = 2.761 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·2.761 × 10⁸/100)^1/3 = 321.2 mm

答案

h_req = 321.2 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 27.47 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27.47 kN

答案

P_cr = 27.47 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 11.99 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

答案

σ_cr = 11.99 MPa

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