结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 55 kNP2​ = 20 kNABRA​ = ?RB​3 m1 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 6 mP1 = 55 kN 位于 3 mP2 = 20 kN 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 3 kN/mP = 40 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 40 kN 位于 2 mw = 3 kN/m，从 1 到 2 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 40 kNP2​ = 45 kNAB3.5 m1.5 m1 m

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 6 mP1 = 40 kN 位于 3.5 mP2 = 45 kN 位于 5 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
40 kN15 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 0 m15 kN @ 6 m60 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB60 kN4 m3 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB35 kN20 kN4 m1 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 20 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 6 kN/mδL = 2 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
P = 35 kNAB2 m2 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 4 mP = 35 kN 位于 2 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 45 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 34.17 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 55 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​3 m1 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 55·3 + 20·4
RB = 245/6 = 40.83 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 40.83 = 34.17 kN

答案

RA = 34.17 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 21.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 3 kN/mP = 40 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 3·1·1.5
RB = 84.5/4 = 21.13 kN
ΣFy = 0: RA = 43 − 21.13 = 21.88 kN

答案

RA = 21.88 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mmax = 84.58 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 40·3.5 + 45·5
RB = 365/6 = 60.83 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 60.83 = 24.17 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P1: M = RA·3.5 = 24.17·3.5 = 84.58 kN·m
荷载点 P2: M = RB·1 = 60.83·1 = 60.83 kN·m

最大值

Mmax = 84.58 kN·m (荷载点 P1)

答案

Mmax = 84.58 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: B (x = 1 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 83.33 kN, R2 = 31.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −40 kN·m, MC = 3.333, MD = −13.33, ME = −30, MF = −15, MG = 0

答案

标记点 B: MB = −40 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 15 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45/0.9487 = −47.43 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−47.43)·0.3162 = 15 kN

答案

FAC = 15 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FBC = 2.253 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 − 20·2 → Cy = −1.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − −1.25 = 36.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−1.25/0.5547 = 2.253 kN

答案

FBC = 2.253 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δmax = 2.101 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 2.101 mm

答案

δmax = 2.101 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 10.94 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10.94 kN

答案

RB = 10.94 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 3.473 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 1·5000 = 5000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3.473 kN

答案

Pcr = 3.473 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 77.37 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 77.37 mm

答案

d = 77.37 mm

校核：长细比 KL/r 为 155.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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