梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 4 mP1 = 60 kN 位于 1.5 mP2 = 55 kN 位于 2 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 12 kN/m；另在距墙 5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 10 mw0 = 12 kN/mP = 30 kN 位于 5 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 3 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 55 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mM0 = 55 kN·m 顺时针，作用于 3 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 7 mw = 3 kN/m，从 0 到 7 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 50 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 15 kN ↓D: 35 kN ↓F: 40 kN →
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 2 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 65 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1.5 + 55·2
RB = 200/4 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 50 = 65 kN
答案
RA = 65 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 550 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·12·10 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 6.667 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 60·6.667 + 30·5 = 550 kN·m
答案
MA = 550 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: Mx = −33 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (向上)
RA = −RB = −11 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −11·3 = −33 kN·m
答案
Mx = −33 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 12.76 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·7 = 21 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·7·3.5
RB = 73.5/6 = 12.25 kN
ΣFy = 0: RA = 21 − 12.25 = 8.75 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 8.75/3 = 2.917 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 8.75²/(2·3) = 12.76 kN·m
答案
Mmax = 12.76 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FAB = −36.44 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 → Cy = 31.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 31.25 = 18.75 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 3/5.831 = 0.5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18.75/0.5145 = −36.44 kN
答案
FAB = −36.44 kN (受压)
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 45 kN (T), BC: 38.75 kN (T), CD: 38.75 kN (T), DE: 32.5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 32.5 kN (C), AF: 8.333 kN (C), HE: 54.17 kN (C), BF: 6.667 kN (T), CG: 0, DH: 43.33 kN (T), BG: 10.42 kN (T), DG: 10.42 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δ = 1.582 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 1.582 mm
答案
δ = 1.582 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 2.906 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 2000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 2000·2500³/(48·9.24 × 10¹¹) = 0.7046 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 2.202 mm
相加
δmax = 0.7046 + 2.202 = 2.906 mm
答案
δmax = 2.906 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 112.8 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1400² = 112795 N = 112.8 kN
答案
Pcr = 112.8 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 3.917 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/10 = 420
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/420² = 3.917 MPa
答案
σcr = 3.917 MPa
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