结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 6 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 6 mP = 70 kN 位于 6 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 m

M_A = kN·m

2.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 7 m 处的集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 4 mAD = 8 mP = 25 kN 位于 7 m

M_A = kN·m

3.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 1 m50 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 40 kN 位于 2.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 35 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 15 kN →

F_BC = kN

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 4 mP = 20 kN 位于 2 m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 10 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 10 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: M_A = 510 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 70·6 + 30·3 = 510 kN·m

答案

M_A = 510 kN·m

2.梁的支座反力

答案: M_A = 25 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·4 = 25·3

R_D = 18.75 kN

V_C = 25 − 18.75 = 6.25 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 6.25 = 6.25 kN

M_A = 6.25·4 = 25 kN·m

答案

M_A = 25 kN·m

3.剪力和弯矩

答案: C (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 79.17 kN, R₂ = 25.83 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 79.17, M_C = 103.3 kN·m, M_D = 77.5, M_E = 51.67, M_F = 25.83, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 103.3 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 52.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2.5 + 8·4·2

R_B = 164/4 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 41 = 31 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 31·2.5 − 8·2.5·1.25 = 52.5 kN·m

答案

M_x = 52.5 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 23.33 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·2 → C_y = 11.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 11.67 = 23.33 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11.67/0.4472 = −26.09 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−26.09)·0.8944 = 23.33 kN

答案

F_AC = 23.33 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −28.33 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·1 + 15·3 → C_y = 17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 17 = 23 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −17/0.6 = −28.33 kN

答案

F_BC = −28.33 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ = 1.389 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 1.389 mm

答案

δ = 1.389 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 6.25 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6.25 kN

答案

R_B = 6.25 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 308.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

计算长度

KL = 1·2000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2000² = 308425 N = 308.4 kN

答案

P_cr = 308.4 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 26.11 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 26.11 mm

答案

d = 26.11 mm

校核：长细比 KL/r 为 229.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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