结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 65 kNP2​ = 25 kNABCRA​ = ?1 m2 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。

AB = 3 mAC = 5 mP1 = 65 kN 位于 1 mP2 = 25 kN 位于 5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 4 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?2 m2 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 6 mP = 55 kN 位于 5 mw = 4 kN/m，从 2 到 4 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 6 kN/mAB截面2 m6 m

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mP = 15 kNAB截面2.5 m5.5 m2 m

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 15 kN 位于 8 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB40 kN8 m5 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 40 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB50 kN20 kN6 m2 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 20 kN ←
FAC = kN
7.梁的挠度中等
w = 4 kN/mδL = 4 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 4 kN/mABδ3 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 1 m20 × 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 100 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 100 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 100 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 26.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·3 = 65·1 + 25·5
RB = 190/3 = 63.33 kN

竖向平衡

RA = 65 + 25 − 63.33 = 26.67 kN

答案

RA = 26.67 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 49.83 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 4 kN/mP = 55 kNABRA​RB​2 m2 m1 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·5 + 4·2·3
RB = 299/6 = 49.83 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 49.83 = 13.17 kN

答案

RB = 49.83 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 36 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24截面2 m6 m

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24·2 − 6·2·1 = 36 kN·m

答案

Mx = 36 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 26.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 15·8 + 2·10·5
RB = 220/10 = 22 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 22 = 13 kN
w = 2 kN/mP = 15 kNABRA​ = 13RB​ = 22截面2.5 m5.5 m2 m

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 13·2.5 − 2·2.5·1.25 = 26.25 kN·m

答案

Mx = 26.25 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −45.07 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·5 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 25 = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25/0.5547 = −45.07 kN

答案

FBC = −45.07 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 8.889 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 − 20·3 → Cy = 6.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 6.667 = 43.33 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.667/0.6 = −11.11 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11.11)·0.8 = 8.889 kN

答案

FAC = 8.889 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δmax = 33.67 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 33.67 mm

答案

δmax = 33.67 mm
8.梁的挠度

答案: hreq = 194.5 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8.333) = 4.602 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·4.602 × 10⁷/75)1/3 = 194.5 mm

答案

hreq = 194.5 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: Pcr = 4.606 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2000² = 4606 N = 4.606 kN

答案

Pcr = 4.606 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 73.69 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 73.69 mm

答案

d = 73.69 mm

校核：长细比 KL/r 为 108.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis