结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 55 kN 位于 1 mP₂ = 50 kN 位于 7 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 1.5 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP = 30 kN 位于 2 mw = 3 kN/m，从 1.5 到 4 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m

V_x = kN

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP = 35 kN 位于 3.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 55 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 5 kN →

F_BC = kN

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 4 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 10 kNa = 4 mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求固定端弯矩 M_A 的大小。

L = 8 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 50.63 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 50·7

R_B = 405/8 = 50.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 50.63 = 54.38 kN

答案

R_B = 50.63 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 5.25 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 3·2.5 = 7.5 kN, x̄ = (1.5 + 4)/2 = 2.75 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 30·2 + 7.5·2.75

R_B = 80.63/2.5 = 32.25 kN

R_A = 37.5 − 32.25 = 5.25 kN

答案

R_A = 5.25 kN

3.剪力和弯矩

答案: V_x = 6 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 30 − 12·2 = 6 kN

答案

V_x = 6 kN

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 42 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3.5 + 2·5·2.5

R_B = 147.5/5 = 29.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 29.5 = 15.5 kN

V = 0 在哪里？

V(3.5⁻) = R_A − w·3.5 = 8.5 kN

V(3.5⁺) = 8.5 − 35 = −26.5 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·3.5 − w·3.5²/2 = 15.5·3.5 − 2·3.5²/2 = 42 kN·m

答案

M_max = 42 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3.5 m 处。

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 25.78 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·5 → C_y = 34.38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 34.38 = 20.63 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −34.38/0.8 = −42.97 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42.97)·0.6 = 25.78 kN

答案

F_AC = 25.78 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −43.73 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·3 + 5·3 → C_y = 22.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 22.5 = 32.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22.5/0.5145 = −43.73 kN

答案

F_BC = −43.73 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_P = 56.71 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 10000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·4000²·2000²/(3·6.27 × 10¹¹·6000) = 56.71 mm

答案

δ_P = 56.71 mm

8.梁的挠度

答案: M_A = 80 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

M_A = wL²/2 − R_B·L = 320 − 240 = 80 kN·m

答案

M_A = 80 kN·m

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 20.25 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3500² = 20249 N = 20.25 kN

答案

P_cr = 20.25 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 8.812 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/15 = 280

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa

答案

σ_cr = 8.812 MPa

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