结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 45 kNP2​ = 60 kNABRA​ = ?RB​2 m2 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 6 mP1 = 45 kN 位于 2 mP2 = 60 kN 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 6 mP = 50 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
55 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 4 m15 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
w = 6 kN/mABC6 m2.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。

L = 8.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 8.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABCDEFGH15 kN20 kN25 kN4 × 3 m3 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓F: 20 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 BG
  13. 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
ABCDEFGH30 kN15 kN10 kN30 kN4 × 4 m4 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 30 kN ↓D: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
w = 2 kN/mP = 19 kNABδ1.5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 19 kNw = 2 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 4 kN/mABδ5 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 5 m25 × 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 30 kNL = 1.5 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 30 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 50 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 45 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​2 m2 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 45·2 + 60·4
RB = 330/6 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 55 = 50 kN

答案

RA = 50 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 12.33 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m3 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1 + 3·4·2
RB = 74/6 = 12.33 kN
ΣFy = 0: RA = 62 − 12.33 = 49.67 kN

答案

RB = 12.33 kN
3.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 49.17 kN, R2 = 20.83 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 98.33, MC = 166.7 kN·m, MD = 125, ME = 83.33, MF = 41.67, MG = 0

答案

标记点 C: MC = 166.7 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 18.44 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8.5 = 51 kN，作用于 x̄ = 4.25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·8.5·4.25
RB = 216.8/6 = 36.13 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 36.13 = 14.88 kN

剪力为零

RA − w·x0 = 0 → x0 = 14.88/6 = 2.479 m

最大正弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 14.88²/(2·6) = 18.44 kN·m

答案

Mmax = 18.44 kN·m
5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 32.5 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 32.5 kN (C), GH: 27.5 kN (C), AF: 45.96 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 12.5 kN (T), CG: 0, DH: 2.5 kN (T), BG: 3.536 kN (T), DG: 3.536 kN (C)

答案

零杆: CG
6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 1.25 kN (T), BC: 1.25 kN (T), CD: 23.75 kN (T), DE: 23.75 kN (T), FG: 62.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 44.19 kN (C), HE: 33.59 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 44.19 kN (T), HC: 12.37 kN (T)

答案

零杆: BF
7.梁的挠度

答案: δ = 2.021 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 19000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(3EI) = 19000·1500³/(3·1.12 × 10¹³) = 1.908 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 0.113 mm

相加

δ = 1.908 + 0.113 = 2.021 mm

答案

δ = 2.021 mm
8.梁的挠度

答案: hreq = 273.5 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·13.89) = 2.131 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.131 × 10⁸/125)1/3 = 273.5 mm

答案

hreq = 273.5 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: Pcr = 4.112 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

计算长度

KL = 1·5000 = 5000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/5000² = 4112 N = 4.112 kN

答案

Pcr = 4.112 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 26.89 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·30000 = 90000 N
KL = 0.5·1500 = 750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 26.89 mm

答案

d = 26.89 mm

校核：长细比 KL/r 为 111.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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