梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 8 kN/m。 距 A 为 2.5 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RA。
L = 4 mw0 = 8 kN/mP = 25 kN 位于 2.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 4.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 3 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处总反力 RA 的大小。
L = 6 mP = 35 kN 位于 4.5 m, θ = 40°Q = 55 kN 位于 3 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 2 mP = 20 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 2 m
MA = kN·m
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 9.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
C: 40 kN ↓D: 40 kN ↓F: 35 kN →G: 40 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 4 kNa = 2 mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 18 kNw = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 14.71 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·8·4 = 16 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 16·2.667 + 25·2.5
RB = 26.29 kN
RA = 41 − 26.29 = 14.71 kN
答案
RA = 14.71 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 42.62 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
P 的分量
Pv = 35·sin 40° = 22.5 kN
Ph = 35·cos 40° = 26.81 kN
反力
ΣMA = 0: RB·6 = 22.5·4.5 + 55·3 → RB = 44.37 kN
Ay = 22.5 + 55 − 44.37 = 33.12 kN
Ax = Ph = 26.81 kN
A 处的合力
RA = √(26.81² + 33.12²) = 42.62 kN
答案
RA = 42.62 kN
3.剪力和弯矩
答案: MA = −38 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −20·1.5 = −30 kN·m
w: −4·2²/2 = −8 kN·m
MA = −30 − 8 = −38 kN·m
答案
MA = −38 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 89.37 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·9.5 = 114 kN，作用于 x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·9.5·4.75
RB = 541.5/8 = 67.69 kN
ΣFy = 0: RA = 114 − 67.69 = 46.31 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 46.31/12 = 3.859 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 46.31²/(2·12) = 89.37 kN·m
答案
Mmax = 89.37 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FAB = −22.36 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 5 = 20 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0.8944 = −22.36 kN
答案
FAB = −22.36 kN (受压)
6.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 76.25 kN (T), BC: 76.25 kN (T), CD: 78.75 kN (T), DE: 78.75 kN (T), FG: 117.5 kN (C), GH: 117.5 kN (C), AF: 58.34 kN (C), HE: 111.4 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 58.34 kN (T), HC: 54.8 kN (T)
答案
零杆: BF
7.梁的挠度
答案: δB = 11.11 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 4000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 4.444 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.003333 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11.11 mm
答案
δB = 11.11 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 2.727 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 18000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 18000·2500³/(48·5.88 × 10¹²) = 0.9965 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 1.73 mm
相加
δmax = 0.9965 + 1.73 = 2.727 mm
答案
δmax = 2.727 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 102.5 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3500² = 102511 N = 102.5 kN
答案
Pcr = 102.5 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 42.38 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 42.38 mm
答案
d = 42.38 mm
校核：长细比 KL/r 为 236，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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