热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
280 g CO₂V = 50 LT = 5 °CP = ?

容积为 50 L 的容器中装有 280 g CO₂，温度为 5 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 280 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的CO₂从 100 kPa、2 L、10 °C 变化到 100 kPa 和 210 °C。求新的体积 V2。

P1 = 100 kPaV1 = 2 LT1 = 10 °CP2 = 100 kPaT2 = 210 °C
V2 = L
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙醇 · 150 °C90 °C水 · 20 °Ct = ? °C

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 90 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙醇 · 180 °C80 °C水 · 25 °C75 °C · ṁ = ?损失 10%

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 10% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 80 °Ct: 25 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 550 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 45%

一台热机从 550 °C 的热源吸热，向 15 °C 的环境放热。其实际热效率为 45%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 550 °CTL = 15 °Cη = 45%
ηII = %
6.热机和制冷机困难
TH​ = 25 °CTL​ = -20 °CRQ̇H​Q̇L​ = 4.5 kWẆ

一台冰箱在 25 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -20 °C，以 4.5 kW 从冷藏室移走热量。 求可能的最高性能系数 COPmax。

TH = 25 °CTL = -20 °CQ̇L = 4.5 kW
COPmax =
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 18，预胀比 rc = v₃/v₂ = 2.5。 压缩开始时空气温度为 290 K。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求加热终了时的温度 T3，以 K 计。

r = 18rc = 2.5T1 = 290 Kk = 1.4
T3 = K
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 20。空气以 310 K 进入压气机，以 1400 K 进入涡轮。 压气机的等熵效率为 80%，涡轮为 90%。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求每千克空气的净输出功 wnet，以 kJ/kg 计。

rp = 20T1 = 310 KT3 = 1400 Kηc = 80%ηt = 90%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 294.3 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 280/44.01 = 6.362 mol
T = 5 + 273.15 = 278.1 K

压强

P = nRT/V = 6.362·8.314·278.1/0.05 = 294.3 kPa

答案

P = 294.3 kPa
2.理想气体定律

答案: V2 = 3.413 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 283.1 K, T2 = 483.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(100/100)·(483.1/283.1) = 3.413 L

答案

V2 = 3.413 L
3.能量衡算

答案: tout = 31.67 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 0.5·2.44·(150 − 90) = 73.2 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 73.2/(1.5·4.18) = 31.67 °C

答案

tout = 31.67 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.5254 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 0.5·2.44·(180 − 80) = 122 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.1)·122 = 109.8 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 109.8/(4.18·50) = 0.5254 kg/s

答案

ṁc = 0.5254 kg/s
5.热机和制冷机

答案: ηII = 69.24 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 550 + 273.15 = 823.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 288.1/823.1 = 64.99 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 45/64.99 = 69.24 %

答案

ηII = 69.24 %
6.热机和制冷机

答案: COPmax = 5.626

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能的最佳 COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 253.1/(298.1 − 253.1) = 5.626

答案

COPmax = 5.626
7.气体动力循环

答案: T3 = 2304 K

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

压缩终了

T2 = 290·180.4 = 921.5 K

定压加热

T3 = rc·T2 = 2.5·921.5 = 2304 K

答案

T3 = 2304 K
8.气体动力循环

答案: wnet = 201.1 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

等熵温度

T2s = 310·200.2857 = 729.6 K
T4s = 1400/200.2857 = 594.8 K

压气机功和涡轮功

wc = 1.005·(729.6 − 310)/0.8 = 527.1 kJ/kg
wt = 0.9·1.005·(1400 − 594.8) = 728.3 kJ/kg

净功

wnet = 728.3 − 527.1 = 201.1 kJ/kg

答案

wnet = 201.1 kJ/kg

回功比：wc/wt = 72.38%。

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