热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
350 g HeP = 800 kPaT = 55 °CV = ?

350 g He在 800 kPa 和 55 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 350 gM = 4.003 g/molP = 800 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的CH₄从 250 kPa、10 L、35 °C 变化到 550 kPa 和 220 °C。求新的体积 V2。

P1 = 250 kPaV1 = 10 LT1 = 35 °CP2 = 550 kPaT2 = 220 °C
V2 = L
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙二醇混合液 · 120 °C80 °C水 · 25 °Ct = ? °C

热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 3 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙二醇混合液 · 140 °C100 °C水 · 30 °C80 °C · ṁ = ?损失 10%

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 10% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 100 °Ct: 30 → 80 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 250 °CTL​ = ?EQH​ = 2300 kJQL​ = 1443 kJW

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 250 °C 的热源吸收 2300 kJ 热量，放出 1443 kJ。求冷源的温度 TL，以 °C 表示。

TH = 250 °CQH = 2300 kJQL = 1443 kJ
TL = °C
6.热机和制冷机困难
TH​ = 850 °CT0​ = 25 °CTL​ = -5 °CERWQ̇H​ = 160 kWQ̇L​ = ?

一台卡诺热机从 850 °C 的热源吸收 160 kW 热量，并向 25 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -5 °C 的冷冻室排出热量，也向 25 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇L。

TH = 850 °CT0 = 25 °CTL = -5 °CQ̇H = 160 kW
Q̇L = kW
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 18，预胀比 rc = v₃/v₂ = 3。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

r = 18rc = 3k = 1.4
η = %
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一个理想布雷顿循环的压气机压比为 8。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

rp = 8k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想气体定律

答案: V = 298.2 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 350/4.003 = 87.43 mol
T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体积

V = nRT/P = 87.43·8.314·328.1/800 = 298.2 L

答案

V = 298.2 L
2.理想气体定律

答案: V2 = 7.274 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 308.1 K, T2 = 493.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(250/550)·(493.1/308.1) = 7.274 L

答案

V2 = 7.274 L
3.能量衡算

答案: tout = 93.9 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 3·3.6·(120 − 80) = 432 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 432/(1.5·4.18) = 93.9 °C

答案

tout = 93.9 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.9301 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 1.5·3.6·(140 − 100) = 216 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.1)·216 = 194.4 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 194.4/(4.18·50) = 0.9301 kg/s

答案

ṁc = 0.9301 kg/s
5.热机和制冷机

答案: TL = 55.07 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

热源的热力学温度

TH = 250 + 273.15 = 523.1 K

可逆循环的热量比

TL = TH·QL/QH = 523.1·1443/2300 = 328.2 K = 55.07 °C

答案

TL = 55.07 °C
6.热机和制冷机

答案: Q̇L = 1050 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
T0 = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

热机的功

η = 1 − 298.1/1123 = 0.7345
Ẇ = 0.7345·160 = 117.5 kW

制冷机排出的热量

COPR = 268.1/(298.1 − 268.1) = 8.938
Q̇L = 8.938·117.5 = 1050 kW

答案

Q̇L = 1050 kW
7.气体动力循环

答案: η = 58.91 %

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

预胀比项

(31.4 − 1)/(1.4·(3 − 1)) = 1.306

热效率

η = 1 − 0.3147·1.306 = 58.91%

答案

η = 58.91%
8.气体动力循环

答案: η = 44.8 %

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

热效率

η = 1 − 1/80.2857 = 1 − 1/1.811 = 44.8%

答案

η = 44.8%

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