热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
500 g CH₄V = 5 LT = 15 °CP = ?

容积为 5 L 的容器中装有 500 g CH₄，温度为 15 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 500 gM = 16.04 g/molV = 5 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
CO₂, M = 44.01 g/molP = 450 kPaT = 100 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CO₂在 450 kPa 和 100 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 450 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙醇 · 120 °C70 °C水 · 30 °Ct = ? °C

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙二醇混合液 · 130 °C100 °C水 · 10 °C25 °C · ṁ = ?损失 15%

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Ct: 10 → 25 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 30 °CTL​ = -30 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 3 kWẆ

一台可逆制冷机通过排出 3 kW 的热量使冷库保持在 -30 °C，并向 30 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇H。

TL = -30 °CTH = 30 °CQ̇L = 3 kW
Q̇H = kW
6.热机和制冷机困难
500 °CTm​ = ?35 °CABWA​WB​

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 500 °C 的热源吸热，向温度为 Tm 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 35 °C 的热源放热。 两台热机产生的功相同。求 Tm，以 °C 表示。

TH = 500 °CTL = 35 °C
Tm = °C
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 17，预胀比 rc = v₃/v₂ = 2.5。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

r = 17rc = 2.5k = 1.4
η = %
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 20。空气以 300 K 进入压气机，以 1500 K 进入涡轮。 两台机器都是等熵的。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求每千克空气的净输出功 wnet，以 kJ/kg 计。

rp = 20T1 = 300 KT3 = 1500 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 14936 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 500/16.04 = 31.17 mol
T = 15 + 273.15 = 288.1 K

压强

P = nRT/V = 31.17·8.314·288.1/0.005 = 14936 kPa

答案

P = 14936 kPa
2.理想气体定律

答案: ρ = 6.384 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 100 + 273.15 = 373.1 K

密度

ρ = 450·44.01/(8.314·373.1) = 6.384 kg/m³

答案

ρ = 6.384 kg/m³
3.能量衡算

答案: tout = 68.92 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 2·2.44·(120 − 70) = 244 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 244/(1.5·4.18) = 68.92 °C

答案

tout = 68.92 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 2.196 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 1.5·3.6·(130 − 100) = 162 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.15)·162 = 137.7 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 137.7/(4.18·15) = 2.196 kg/s

答案

ṁc = 2.196 kg/s
5.热机和制冷机

答案: Q̇H = 3.74 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = -30 + 273.15 = 243.1 K

可逆循环的热量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 3·303.1/243.1 = 3.74 kW

答案

Q̇H = 3.74 kW

输入功率：Ẇ = 0.7403 kW。

6.热机和制冷机

答案: Tm = 267.5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 500 + 273.15 = 773.1 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

功相等

W = Q·(1 − Tlow/Thigh)，且每个热源的 Q/T 相同，所以 W 与温降成正比。

Tm = (773.1 + 308.1)/2 = 540.6 K = 267.5 °C

答案

Tm = 267.5 °C
7.气体动力循环

答案: η = 60.03 %

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

预胀比项

(2.51.4 − 1)/(1.4·(2.5 − 1)) = 1.241

热效率

η = 1 − 0.322·1.241 = 60.03%

答案

η = 60.03%
8.气体动力循环

答案: wnet = 458.9 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

等熵温度

T2 = 300·200.2857 = 706.1 K
T4 = 1500/200.2857 = 637.3 K

压气机功和涡轮功

wc = 1.005·(706.1 − 300) = 408.1 kJ/kg
wt = 1.005·(1500 − 637.3) = 867 kJ/kg

净功

wnet = 867 − 408.1 = 458.9 kJ/kg

答案

wnet = 458.9 kJ/kg

回功比：wc/wt = 47.07%。

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