热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
110 g CO₂V = 50 LT = 60 °CP = ?

容积为 50 L 的容器中装有 110 g CO₂，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 110 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
N₂, M = 28.01 g/molP = 900 kPaT = 170 °Cρ = ?

按理想气体处理，求N₂在 900 kPa 和 170 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 900 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙醇 · 130 °C70 °C水 · 30 °Ct = ? °C

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 130 → 70 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙二醇混合液 · 140 °C100 °C水 · 10 °C70 °C · ṁ = ?损失 5%

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 5% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 3 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 100 °Ct: 10 → 70 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 600 °CTL​ = 30 °CEQH​ = 500 kJQL​W = ?

一台热机在 600 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 500 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 600 °CTL = 30 °CQH = 500 kJ
Wmax = kJ
6.热机和制冷机困难
TH​ = 20 °CTL​ = 5 °CHPQ̇H​ = 15 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵在室外 5 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 15 kW 热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 20 °CTL = 5 °CQ̇H = 15 kW
Ẇmin = kW
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 19，预胀比 rc = v₃/v₂ = 3。 压缩开始时空气温度为 290 K。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求加热终了时的温度 T3，以 K 计。

r = 19rc = 3T1 = 290 Kk = 1.4
T3 = K
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 18。空气以 290 K 进入压气机，以 1500 K 进入涡轮。 两台机器都是等熵的。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求每千克空气的净输出功 wnet，以 kJ/kg 计。

rp = 18T1 = 290 KT3 = 1500 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 138.5 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 110/44.01 = 2.499 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 2.499·8.314·333.1/0.05 = 138.5 kPa

答案

P = 138.5 kPa
2.理想气体定律

答案: ρ = 6.842 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 900·28.01/(8.314·443.1) = 6.842 kg/m³

答案

ρ = 6.842 kg/m³
3.能量衡算

答案: tout = 47.51 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 0.5·2.44·(130 − 70) = 73.2 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 73.2/(1·4.18) = 47.51 °C

答案

tout = 47.51 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 1.636 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 3·3.6·(140 − 100) = 432 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.05)·432 = 410.4 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 410.4/(4.18·60) = 1.636 kg/s

答案

ṁc = 1.636 kg/s
5.热机和制冷机

答案: Wmax = 326.4 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 600 + 273.15 = 873.1 K
TL = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 303.1/873.1 = 65.28 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.6528·500 = 326.4 kJ

答案

Wmax = 326.4 kJ
6.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.7675 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293.1/(293.1 − 278.1) = 19.54

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇H/COP = 15/19.54 = 0.7675 kW

答案

Ẇmin = 0.7675 kW
7.气体动力循环

答案: T3 = 2825 K

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

压缩终了

T2 = 290·190.4 = 941.7 K

定压加热

T3 = rc·T2 = 3·941.7 = 2825 K

答案

T3 = 2825 K
8.气体动力循环

答案: wnet = 473.3 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

等熵温度

T2 = 290·180.2857 = 662.3 K
T4 = 1500/180.2857 = 656.8 K

压气机功和涡轮功

wc = 1.005·(662.3 − 290) = 374.2 kJ/kg
wt = 1.005·(1500 − 656.8) = 847.4 kJ/kg

净功

wnet = 847.4 − 374.2 = 473.3 kJ/kg

答案

wnet = 473.3 kJ/kg

回功比：wc/wt = 44.15%。

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