热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜热: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

气体动力循环

等熵，体积比: T₂/T₁ = r^k−1
等熵，压力比: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
奥托循环效率: η = 1 − 1/r^k−1
狄塞尔循环效率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
布雷顿循环效率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
吸热量: 奥托：c_v(T₃ − T₂) 狄塞尔、布雷顿：c_p(T₃ − T₂)
布雷顿循环净功: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
等熵效率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空气标准: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等

130 g O₂在 750 kPa 和 90 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 130 gM = 32 g/molP = 750 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 500 kPa 和 180 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 500 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.能量衡算中等

热轻油在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 t_out。

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 100 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.能量衡算困难

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 5% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁ_c。

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 130 °Ct: 25 → 90 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 200 °C 的热源吸收 1700 kJ 热量，放出 1053 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 200 °CQ_H = 1700 kJQ_L = 1053 kJ

T_L = °C

6.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 1000 °C 的热源吸收 90 kW 热量，并向 27 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -30 °C 的冷冻室排出热量，也向 27 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 1000 °CT₀ = 27 °CT_L = -30 °CQ̇_H = 90 kW

Q̇_L = kW

7.气体动力循环中等

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 17，预胀比 r_c = v₃/v₂ = 2.5。压缩开始时空气温度为 310 K。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求每千克空气的吸热量 q_in，以 kJ/kg 计。

r = 17r_c = 2.5T₁ = 310 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.气体动力循环困难

一个理想布雷顿循环的压气机压比为 8。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求其热效率 η，以百分比计。

r_p = 8k = 1.4

η = %

3溶液

1.理想气体定律

答案: V = 16.35 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 130/32 = 4.063 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体积

V = nRT/P = 4.063·8.314·363.1/750 = 16.35 L

答案

V = 16.35 L

2.理想气体定律

答案: ρ = 0.5313 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 500·4.003/(8.314·453.1) = 0.5313 kg/m³

答案

ρ = 0.5313 kg/m³

3.能量衡算

答案: t_out = 30.1 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

热流体放出的热量

Q = 1·2.1·(140 − 100) = 84 kW

水吸收的热量

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 84/(1·4.18) = 30.1 °C

答案

t_out = 30.1 °C

4.能量衡算

答案: ṁ_c = 0.5119 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Q_h = 2·2.44·(160 − 130) = 146.4 kW

传给水的热量

Q_c = (1 − 0.05)·146.4 = 139.1 kW

水流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 139.1/(4.18·65) = 0.5119 kg/s

答案

ṁ_c = 0.5119 kg/s

5.热机和制冷机

答案: T_L = 19.92 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 200 + 273.15 = 473.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 473.1·1053/1700 = 293.1 K = 19.92 °C

答案

T_L = 19.92 °C

6.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 293.4 kW

绝对温度

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -30 + 273.15 = 243.1 K

热机的功

η = 1 − 300.1/1273 = 0.7642

Ẇ = 0.7642·90 = 68.78 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 243.1/(300.1 − 243.1) = 4.266

Q̇_L = 4.266·68.78 = 293.4 kW

答案

Q̇_L = 293.4 kW

7.气体动力循环

答案: q_in = 1451 kJ/kg

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 r_c = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·r^k−1，T₃ = r_c·T₂，q_in = c_p·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))。

温度

T₂ = 310·17^0.4 = 962.8 K

T₃ = 2.5·962.8 = 2407 K

定压吸热量

q_in = 1.005·(2407 − 962.8) = 1451 kJ/kg

答案

q_in = 1451 kJ/kg

8.气体动力循环

答案: η = 44.8 %

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 r_p = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k，T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k，η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k。净功 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 w_s/η_c，涡轮输出 η_t·w_s。

热效率

η = 1 − 1/8^0.2857 = 1 − 1/1.811 = 44.8%

答案

η = 44.8%

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