热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
50 g O₂P = 250 kPaT = 45 °CV = ?

50 g O₂在 250 kPa 和 45 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 50 gM = 32 g/molP = 250 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的He从 200 kPa、2 L、25 °C 变化到 800 kPa 和 100 °C。求新的体积 V2。

P1 = 200 kPaV1 = 2 LT1 = 25 °CP2 = 800 kPaT2 = 100 °C
V2 = L
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙醇 · 140 °C90 °C水 · 30 °Ct = ? °C

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 90 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙醇 · 120 °C90 °C水 · 25 °C90 °C · ṁ = ?损失 10%

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 10% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 25 → 90 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 575 °CTL​ = ?EQH​ = 900 kJQL​ = 300 kJW

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 575 °C 的热源吸收 900 kJ 热量，放出 300 kJ。求冷源的温度 TL，以 °C 表示。

TH = 575 °CQH = 900 kJQL = 300 kJ
TL = °C
6.热机和制冷机困难
TH​ = 21 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 15 kWQ̇L​Ẇ

一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 15 kW 热量。 求可能的最高性能系数 COPmax。

TH = 21 °CTL = 2 °CQ̇H = 15 kW
COPmax =
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 22，预胀比 rc = v₃/v₂ = 3。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

r = 22rc = 3k = 1.4
η = %
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 20。空气以 295 K 进入压气机，以 1500 K 进入涡轮。 两台机器都是等熵的。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求每千克空气的净输出功 wnet，以 kJ/kg 计。

rp = 20T1 = 295 KT3 = 1500 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: V = 16.53 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 50/32 = 1.563 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K

体积

V = nRT/P = 1.563·8.314·318.1/250 = 16.53 L

答案

V = 16.53 L
2.理想气体定律

答案: V2 = 0.6258 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 298.1 K, T2 = 373.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(200/800)·(373.1/298.1) = 0.6258 L

答案

V2 = 0.6258 L
3.能量衡算

答案: tout = 59.19 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 0.5·2.44·(140 − 90) = 61 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 61/(0.5·4.18) = 59.19 °C

答案

tout = 59.19 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.1212 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 0.5·2.44·(120 − 90) = 36.6 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.1)·36.6 = 32.94 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 32.94/(4.18·65) = 0.1212 kg/s

答案

ṁc = 0.1212 kg/s
5.热机和制冷机

答案: TL = 9.567 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

热源的热力学温度

TH = 575 + 273.15 = 848.1 K

可逆循环的热量比

TL = TH·QL/QH = 848.1·300/900 = 282.7 K = 9.567 °C

答案

TL = 9.567 °C
6.热机和制冷机

答案: COPmax = 15.48

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 275.1) = 15.48

答案

COPmax = 15.48
7.气体动力循环

答案: η = 62.08 %

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

预胀比项

(31.4 − 1)/(1.4·(3 − 1)) = 1.306

热效率

η = 1 − 0.2904·1.306 = 62.08%

答案

η = 62.08%
8.气体动力循环

答案: wnet = 465.7 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

等熵温度

T2 = 295·200.2857 = 694.3 K
T4 = 1500/200.2857 = 637.3 K

压气机功和涡轮功

wc = 1.005·(694.3 − 295) = 401.3 kJ/kg
wt = 1.005·(1500 − 637.3) = 867 kJ/kg

净功

wnet = 867 − 401.3 = 465.7 kJ/kg

答案

wnet = 465.7 kJ/kg

回功比：wc/wt = 46.29%。

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