热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
470 g CH₄V = 30 LT = 60 °CP = ?

容积为 30 L 的容器中装有 470 g CH₄，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 470 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
Ar, M = 39.95 g/molP = 600 kPaT = 20 °Cρ = ?

按理想气体处理，求Ar在 600 kPa 和 20 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 600 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙二醇混合液 · 120 °C60 °C水 · 10 °Ct = ? °C

热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 3 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 60 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙醇 · 160 °C120 °C水 · 25 °C50 °C · ṁ = ?损失 5%

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 5% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 120 °Ct: 25 → 50 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 40 °CTL​ = -20 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 4.5 kWẆ

一台可逆制冷机通过排出 4.5 kW 的热量使冷库保持在 -20 °C，并向 40 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇H。

TL = -20 °CTH = 40 °CQ̇L = 4.5 kW
Q̇H = kW
6.热机和制冷机困难
TH​ = 35 °CTL​ = 10 °CHPQ̇H​ = 17 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵从 10 °C 的热源吸热，向 35 °C 的供暖系统提供 17 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 40%。求它消耗的电功率 Ẇ。

TH = 35 °CTL = 10 °CηII = 40%Q̇H = 17 kW
Ẇ = kW
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 16，预胀比 rc = v₃/v₂ = 1.5。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

r = 16rc = 1.5k = 1.4
η = %
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一个理想布雷顿循环的压气机压比为 6。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

rp = 6k = 1.4
η = %

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 2705 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 470/16.04 = 29.3 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 29.3·8.314·333.1/0.03 = 2705 kPa

答案

P = 2705 kPa
2.理想气体定律

答案: ρ = 9.835 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 600·39.95/(8.314·293.1) = 9.835 kg/m³

答案

ρ = 9.835 kg/m³
3.能量衡算

答案: tout = 113.3 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 3·3.6·(120 − 60) = 648 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 648/(1.5·4.18) = 113.3 °C

答案

tout = 113.3 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.8873 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 1·2.44·(160 − 120) = 97.6 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.05)·97.6 = 92.72 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 92.72/(4.18·25) = 0.8873 kg/s

答案

ṁc = 0.8873 kg/s
5.热机和制冷机

答案: Q̇H = 5.567 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 40 + 273.15 = 313.1 K
TL = -20 + 273.15 = 253.1 K

可逆循环的热量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 4.5·313.1/253.1 = 5.567 kW

答案

Q̇H = 5.567 kW

输入功率：Ẇ = 1.067 kW。

6.热机和制冷机

答案: Ẇ = 3.448 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 35 + 273.15 = 308.1 K
TL = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COPmax = 308.1/(308.1 − 283.1) = 12.33
COP = 0.4·12.33 = 4.93

输入功率

Ẇ = Q̇H/COP = 17/4.93 = 3.448 kW

答案

Ẇ = 3.448 kW
7.气体动力循环

答案: η = 63.99 %

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

预胀比项

(1.51.4 − 1)/(1.4·(1.5 − 1)) = 1.092

热效率

η = 1 − 0.3299·1.092 = 63.99%

答案

η = 63.99%
8.气体动力循环

答案: η = 40.07 %

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

热效率

η = 1 − 1/60.2857 = 1 − 1/1.669 = 40.07%

答案

η = 40.07%

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