热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
390 g HeV = 50 LT = 35 °CP = ?

容积为 50 L 的容器中装有 390 g He，温度为 35 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 390 gM = 4.003 g/molV = 50 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
He, M = 4.003 g/molP = 400 kPaT = 190 °Cρ = ?

按理想气体处理，求He在 400 kPa 和 190 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 400 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙二醇混合液 · 180 °C80 °C水 · 10 °Ct = ? °C

热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 180 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙二醇混合液 · 140 °C70 °C水 · 10 °C55 °C · ṁ = ?损失 5%

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 5% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Ct: 10 → 55 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 375 °CTL​ = 20 °CEQH​ = 1700 kJQL​W = ?

一台热机在 375 °C 的高温热源和 20 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 1700 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 375 °CTL = 20 °CQH = 1700 kJ
Wmax = kJ
6.热机和制冷机困难
TH​ = 22 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 15.5 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵从 2 °C 的热源吸热，向 22 °C 的供暖系统提供 15.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 55%。求它消耗的电功率 Ẇ。

TH = 22 °CTL = 2 °CηII = 55%Q̇H = 15.5 kW
Ẇ = kW
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 18，预胀比 rc = v₃/v₂ = 2.2。 压缩开始时空气温度为 290 K。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求加热终了时的温度 T3，以 K 计。

r = 18rc = 2.2T1 = 290 Kk = 1.4
T3 = K
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 6。空气以 290 K 进入压气机，以 1300 K 进入涡轮。 压气机的等熵效率为 85%，涡轮为 88%。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求每千克空气的净输出功 wnet，以 kJ/kg 计。

rp = 6T1 = 290 KT3 = 1300 Kηc = 85%ηt = 88%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 4992 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 390/4.003 = 97.43 mol
T = 35 + 273.15 = 308.1 K

压强

P = nRT/V = 97.43·8.314·308.1/0.05 = 4992 kPa

答案

P = 4992 kPa
2.理想气体定律

答案: ρ = 0.4158 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 190 + 273.15 = 463.1 K

密度

ρ = 400·4.003/(8.314·463.1) = 0.4158 kg/m³

答案

ρ = 0.4158 kg/m³
3.能量衡算

答案: tout = 53.06 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 1.5·3.6·(180 − 80) = 540 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 540/(3·4.18) = 53.06 °C

答案

tout = 53.06 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 3.182 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 2.5·3.6·(140 − 70) = 630 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.05)·630 = 598.5 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 598.5/(4.18·45) = 3.182 kg/s

答案

ṁc = 3.182 kg/s
5.热机和制冷机

答案: Wmax = 931.1 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 375 + 273.15 = 648.1 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 293.1/648.1 = 54.77 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.5477·1700 = 931.1 kJ

答案

Wmax = 931.1 kJ
6.热机和制冷机

答案: Ẇ = 1.91 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 22 + 273.15 = 295.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COPmax = 295.1/(295.1 − 275.1) = 14.76
COP = 0.55·14.76 = 8.117

输入功率

Ẇ = Q̇H/COP = 15.5/8.117 = 1.91 kW

答案

Ẇ = 1.91 kW
7.气体动力循环

答案: T3 = 2027 K

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

压缩终了

T2 = 290·180.4 = 921.5 K

定压加热

T3 = rc·T2 = 2.2·921.5 = 2027 K

答案

T3 = 2027 K
8.气体动力循环

答案: wnet = 231.4 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

等熵温度

T2s = 290·60.2857 = 483.9 K
T4s = 1300/60.2857 = 779.1 K

压气机功和涡轮功

wc = 1.005·(483.9 − 290)/0.85 = 229.2 kJ/kg
wt = 0.88·1.005·(1300 − 779.1) = 460.7 kJ/kg

净功

wnet = 460.7 − 229.2 = 231.4 kJ/kg

答案

wnet = 231.4 kJ/kg

回功比：wc/wt = 49.76%。

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