理想气体定律
- 理想气体定律
- pV = nRT
- 气体常数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- 联合气体定律
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物质的量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
热力学（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
能量衡算
- 显热
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜热
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
热机和制冷机
- 效率
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- 卡诺效率
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- 制冷机 COP
- COPR = QC/W
- 热泵 COP
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- 能量衡算
- QH = W + QC
气体动力循环
- 等熵，体积比
- T2/T1 = rk−1
- 等熵，压力比
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- 奥托循环效率
- η = 1 − 1/rk−1
- 狄塞尔循环效率
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- 布雷顿循环效率
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- 吸热量
- 奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
- 布雷顿循环净功
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- 等熵效率
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- 冷空气标准
- k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)
2练习题
1.理想气体定律中等
280 g He在 250 kPa 和 45 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。
m = 280 gM = 4.003 g/molP = 250 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想气体定律困难
按理想气体处理，求N₂在 250 kPa 和 80 °C 下的密度 ρ。
M = 28.01 g/molP = 250 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 130 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 80 °Ct: 30 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
一台热机在 200 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。
TH = 200 °CTL = 40 °C
ηmax = %
6.热机和制冷机困难
一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 15 kW 热量。 求最小输入功率 Ẇmin。
TH = 21 °CTL = 2 °CQ̇H = 15 kW
Ẇmin = kW
7.气体动力循环中等
一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 22，预胀比 rc = v₃/v₂ = 2.2。 压缩开始时空气温度为 290 K。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求加热终了时的温度 T3，以 K 计。
r = 22rc = 2.2T1 = 290 Kk = 1.4
T3 = K
8.气体动力循环困难
一个理想布雷顿循环的压气机压比为 20。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。
rp = 20k = 1.4
η = %
3溶液
1.理想气体定律
答案: V = 740.1 L
理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。
物质的量
n = 280/4.003 = 69.95 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K
体积
V = nRT/P = 69.95·8.314·318.1/250 = 740.1 L
答案
V = 740.1 L
2.理想气体定律
答案: ρ = 2.385 kg/m³
理想气体密度：ρ = PM/(RT)。
整理气体定律
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 80 + 273.15 = 353.1 K
密度
ρ = 250·28.01/(8.314·353.1) = 2.385 kg/m³
答案
ρ = 2.385 kg/m³
3.能量衡算
答案: tout = 21.48 °C
换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
热流体放出的热量
Q = 0.5·3.6·(170 − 130) = 72 kW
水吸收的热量
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 72/(1.5·4.18) = 21.48 °C
答案
tout = 21.48 °C
4.能量衡算
答案: ṁc = 0.3308 kg/s
有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。
放出热量
Qh = 0.5·2.44·(140 − 80) = 73.2 kW
传给水的热量
Qc = (1 − 0.15)·73.2 = 62.22 kW
水流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 62.22/(4.18·45) = 0.3308 kg/s
答案
ṁc = 0.3308 kg/s
5.热机和制冷机
答案: ηmax = 33.82 %
第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。
绝对温度
TH = 200 + 273.15 = 473.1 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K
卡诺效率
ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 313.1/473.1 = 33.82 %
答案
ηmax = 33.82 %
6.热机和制冷机
答案: Ẇmin = 0.9689 kW
第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。
绝对温度
TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K
可能的最佳 COP
COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 275.1) = 15.48
最小功率
可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。
Ẇmin = Q̇H/COP = 15/15.48 = 0.9689 kW
答案
Ẇmin = 0.9689 kW
7.气体动力循环
答案: T3 = 2197 K
狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。
压缩终了
T2 = 290·220.4 = 998.5 K
定压加热
T3 = rc·T2 = 2.2·998.5 = 2197 K
答案
T3 = 2197 K
8.气体动力循环
答案: η = 57.51 %
布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。
热效率
η = 1 − 1/200.2857 = 1 − 1/2.354 = 57.51%
答案
η = 57.51%
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