热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜热: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

气体动力循环

等熵，体积比: T₂/T₁ = r^k−1
等熵，压力比: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
奥托循环效率: η = 1 − 1/r^k−1
狄塞尔循环效率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
布雷顿循环效率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
吸热量: 奥托：c_v(T₃ − T₂) 狄塞尔、布雷顿：c_p(T₃ − T₂)
布雷顿循环净功: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
等熵效率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空气标准: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 450 g CH₄，温度为 10 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 450 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想气体定律困难

按理想气体处理，求N₂在 750 kPa 和 100 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 750 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.能量衡算中等

热轻油在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 t_out。

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Cṁ_c = 0.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.能量衡算困难

热轻油在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁ_c。

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 130 °Ct: 15 → 30 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.热机和制冷机中等

一台热机在 325 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 325 °CT_L = 40 °C

η_max = %

6.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 300 °C 的热源吸收 2200 kJ 热量，产生 770 kJ 的功，其余热量排向 15 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 300 °CT_L = 15 °CQ_H = 2200 kJW = 770 kJ

S_gen = kJ/K

7.气体动力循环中等

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 16，预胀比 r_c = v₃/v₂ = 2.2。压缩开始时空气温度为 295 K。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求每千克空气的吸热量 q_in，以 kJ/kg 计。

r = 16r_c = 2.2T₁ = 295 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.气体动力循环困难

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 15。空气以 300 K 进入压气机，以 1300 K 进入涡轮。压气机的等熵效率为 88%，涡轮为 92%。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求每千克空气的净输出功 w_net，以 kJ/kg 计。

r_p = 15T₁ = 300 KT₃ = 1300 Kη_c = 88%η_t = 92%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 2201 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 450/16.04 = 28.05 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

压强

P = nRT/V = 28.05·8.314·283.1/0.03 = 2201 kPa

答案

P = 2201 kPa

2.理想气体定律

答案: ρ = 6.771 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

密度

ρ = 750·28.01/(8.314·373.1) = 6.771 kg/m³

答案

ρ = 6.771 kg/m³

3.能量衡算

答案: t_out = 120.4 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

热流体放出的热量

Q = 3·2.1·(130 − 100) = 189 kW

水吸收的热量

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 189/(0.5·4.18) = 120.4 °C

答案

t_out = 120.4 °C

4.能量衡算

答案: ṁ_c = 0.8541 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Q_h = 1·2.1·(160 − 130) = 63 kW

传给水的热量

Q_c = (1 − 0.15)·63 = 53.55 kW

水流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 53.55/(4.18·15) = 0.8541 kg/s

答案

ṁ_c = 0.8541 kg/s

5.热机和制冷机

答案: η_max = 47.65 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/598.1 = 47.65 %

答案

η_max = 47.65 %

6.热机和制冷机

答案: S_gen = 1.124 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 2200 − 770 = 1430 kJ

绝对温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −2200/573.1 = −3.838 kJ/K

ΔS_L = 1430/288.1 = 4.963 kJ/K

S_gen = 4.963 − 3.838 = 1.124 kJ/K

答案

S_gen = 1.124 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

7.气体动力循环

答案: q_in = 1078 kJ/kg

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 r_c = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·r^k−1，T₃ = r_c·T₂，q_in = c_p·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))。

温度

T₂ = 295·16^0.4 = 894.3 K

T₃ = 2.2·894.3 = 1967 K

定压吸热量

q_in = 1.005·(1967 − 894.3) = 1078 kJ/kg

答案

q_in = 1078 kJ/kg

8.气体动力循环

答案: w_net = 247.4 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 r_p = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k，T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k，η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k。净功 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 w_s/η_c，涡轮输出 η_t·w_s。

等熵温度

T_2s = 300·15^0.2857 = 650.4 K

T_4s = 1300/15^0.2857 = 599.7 K

压气机功和涡轮功

w_c = 1.005·(650.4 − 300)/0.88 = 400.1 kJ/kg

w_t = 0.92·1.005·(1300 − 599.7) = 647.5 kJ/kg

净功

w_net = 647.5 − 400.1 = 247.4 kJ/kg

答案

w_net = 247.4 kJ/kg

回功比：w_c/w_t = 61.79%。

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