热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
390 g ArV = 10 LT = 35 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 390 g Ar，温度为 35 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 390 gM = 39.95 g/molV = 10 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想气体定律困难
CO₂, M = 44.01 g/molP = 350 kPaT = 120 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CO₂在 350 kPa 和 120 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 350 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙醇 · 140 °C80 °C水 · 15 °Ct = ? °C

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 80 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙二醇混合液 · 160 °C70 °C水 · 20 °C45 °C · ṁ = ?损失 10%

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 10% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 70 °Ct: 20 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 450 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​η = 41%

一台热机从 450 °C 的热源吸热，向 25 °C 的环境放热。其实际热效率为 41%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 450 °CTL = 25 °Cη = 41%
ηII = %
6.热机和制冷机困难
TH​ = 35 °CTL​ = 5 °CRQ̇H​Q̇L​ = 1.5 kWẆ = ?

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 5 °C，以 1.5 kW 从冷藏室移走热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 35 °CTL = 5 °CQ̇L = 1.5 kW
Ẇmin = kW
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 22，预胀比 rc = v₃/v₂ = 2.2。 压缩开始时空气温度为 295 K。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求加热终了时的温度 T3，以 K 计。

r = 22rc = 2.2T1 = 295 Kk = 1.4
T3 = K
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 18。空气以 288 K 进入压气机，以 1200 K 进入涡轮。 两台机器都是等熵的。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求每千克空气的净输出功 wnet，以 kJ/kg 计。

rp = 18T1 = 288 KT3 = 1200 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: P = 2501 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 390/39.95 = 9.762 mol
T = 35 + 273.15 = 308.1 K

压强

P = nRT/V = 9.762·8.314·308.1/0.01 = 2501 kPa

答案

P = 2501 kPa
2.理想气体定律

答案: ρ = 4.712 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 350·44.01/(8.314·393.1) = 4.712 kg/m³

答案

ρ = 4.712 kg/m³
3.能量衡算

答案: tout = 50.02 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 1.5·2.44·(140 − 80) = 219.6 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 219.6/(1.5·4.18) = 50.02 °C

答案

tout = 50.02 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 2.79 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 1·3.6·(160 − 70) = 324 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.1)·324 = 291.6 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 291.6/(4.18·25) = 2.79 kg/s

答案

ṁc = 2.79 kg/s
5.热机和制冷机

答案: ηII = 69.76 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 450 + 273.15 = 723.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 298.1/723.1 = 58.77 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 41/58.77 = 69.76 %

答案

ηII = 69.76 %
6.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.1618 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 35 + 273.15 = 308.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 278.1/(308.1 − 278.1) = 9.272

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇L/COP = 1.5/9.272 = 0.1618 kW

答案

Ẇmin = 0.1618 kW
7.气体动力循环

答案: T3 = 2235 K

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

压缩终了

T2 = 295·220.4 = 1016 K

定压加热

T3 = rc·T2 = 2.2·1016 = 2235 K

答案

T3 = 2235 K
8.气体动力循环

答案: wnet = 306.4 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

等熵温度

T2 = 288·180.2857 = 657.7 K
T4 = 1200/180.2857 = 525.5 K

压气机功和涡轮功

wc = 1.005·(657.7 − 288) = 371.6 kJ/kg
wt = 1.005·(1200 − 525.5) = 677.9 kJ/kg

净功

wnet = 677.9 − 371.6 = 306.4 kJ/kg

答案

wnet = 306.4 kJ/kg

回功比：wc/wt = 54.81%。

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