热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

气体动力循环

等熵，体积比
T2/T1 = rk−1
等熵，压力比
T2/T1 = rp(k−1)/k
奥托循环效率
η = 1 − 1/rk−1
狄塞尔循环效率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
布雷顿循环效率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
吸热量
奥托：cv(T3 − T2) 狄塞尔、布雷顿：cp(T3 − T2)
布雷顿循环净功
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
等熵效率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空气标准
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等
490 g ArP = 650 kPaT = 70 °CV = ?

490 g Ar在 650 kPa 和 70 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 490 gM = 39.95 g/molP = 650 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想气体定律困难
O₂, M = 32 g/molP = 100 kPaT = 140 °Cρ = ?

按理想气体处理，求O₂在 100 kPa 和 140 °C 下的密度 ρ。

M = 32 g/molP = 100 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙醇 · 120 °C90 °C水 · 30 °Ct = ? °C

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙二醇混合液 · 120 °C70 °C水 · 25 °C75 °C · ṁ = ?损失 15%

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Ct: 25 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.热机和制冷机中等
TH​ = 350 °CTL​ = 40 °CEQH​QL​η = 25%

一台热机从 350 °C 的热源吸热，向 40 °C 的环境放热。其实际热效率为 25%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 350 °CTL = 40 °Cη = 25%
ηII = %
6.热机和制冷机困难
TH​ = 20 °CTL​ = -5 °CHPQ̇H​ = 12 kWQ̇L​Ẇ

一台热泵在室外 -5 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 12 kW 热量。 求可能的最高性能系数 COPmax。

TH = 20 °CTL = -5 °CQ̇H = 12 kW
COPmax =
7.气体动力循环中等
vP1234qin​qout​

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 22，预胀比 rc = v₃/v₂ = 2.5。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求其热效率 η，以百分比计。

r = 22rc = 2.5k = 1.4
η = %
8.气体动力循环困难
vP1234qin​qout​

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 10。空气以 300 K 进入压气机，以 1100 K 进入涡轮。 两台机器都是等熵的。 采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，cp = 1.005 kJ/(kg·K)，cv = 0.718 kJ/(kg·K)。 求每千克空气的净输出功 wnet，以 kJ/kg 计。

rp = 10T1 = 300 KT3 = 1100 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: V = 53.83 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 490/39.95 = 12.27 mol
T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体积

V = nRT/P = 12.27·8.314·343.1/650 = 53.83 L

答案

V = 53.83 L
2.理想气体定律

答案: ρ = 0.9316 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 140 + 273.15 = 413.1 K

密度

ρ = 100·32/(8.314·413.1) = 0.9316 kg/m³

答案

ρ = 0.9316 kg/m³
3.能量衡算

答案: tout = 34.38 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 0.5·2.44·(120 − 90) = 36.6 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 36.6/(2·4.18) = 34.38 °C

答案

tout = 34.38 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 1.83 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 2.5·3.6·(120 − 70) = 450 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.15)·450 = 382.5 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 382.5/(4.18·50) = 1.83 kg/s

答案

ṁc = 1.83 kg/s
5.热机和制冷机

答案: ηII = 50.25 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 350 + 273.15 = 623.1 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 313.1/623.1 = 49.75 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 25/49.75 = 50.25 %

答案

ηII = 50.25 %
6.热机和制冷机

答案: COPmax = 11.73

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293.1/(293.1 − 268.1) = 11.73

答案

COPmax = 11.73
7.气体动力循环

答案: η = 63.95 %

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 rc = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·rk−1，T₃ = rc·T₂，qin = cp·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))。

预胀比项

(2.51.4 − 1)/(1.4·(2.5 − 1)) = 1.241

热效率

η = 1 − 0.2904·1.241 = 63.95%

答案

η = 63.95%
8.气体动力循环

答案: wnet = 252.3 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 rp = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·rp(k−1)/k，T₄ = T₃/rp(k−1)/k，η = 1 − 1/rp(k−1)/k。净功 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 ws/ηc，涡轮输出 ηt·ws。

等熵温度

T2 = 300·100.2857 = 579.2 K
T4 = 1100/100.2857 = 569.7 K

压气机功和涡轮功

wc = 1.005·(579.2 − 300) = 280.6 kJ/kg
wt = 1.005·(1100 − 569.7) = 532.9 kJ/kg

净功

wnet = 532.9 − 280.6 = 252.3 kJ/kg

答案

wnet = 252.3 kJ/kg

回功比：wc/wt = 52.66%。

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