热力学（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

能量衡算

显热: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜热: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

气体动力循环

等熵，体积比: T₂/T₁ = r^k−1
等熵，压力比: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
奥托循环效率: η = 1 − 1/r^k−1
狄塞尔循环效率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
布雷顿循环效率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
吸热量: 奥托：c_v(T₃ − T₂) 狄塞尔、布雷顿：c_p(T₃ − T₂)
布雷顿循环净功: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
等熵效率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空气标准: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2练习题

1.理想气体定律中等

90 g CH₄在 400 kPa 和 15 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 90 gM = 16.04 g/molP = 400 kPaT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 700 kPa 和 20 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 700 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.能量衡算中等

热乙醇在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 t_out。

ṁ_h = 1.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 90 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.能量衡算困难

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 10% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁ_c。

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 70 °Ct: 10 → 25 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.热机和制冷机中等

一台热机在 600 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。它吸收 1600 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 600 °CT_L = 40 °CQ_H = 1600 kJ

W_max = kJ

6.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 750 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 25 °C 的热源放热。两台热机产生的功相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 750 °CT_L = 25 °C

T_m = °C

7.气体动力循环中等

一个理想狄塞尔循环的压缩比 r = 17，预胀比 r_c = v₃/v₂ = 3。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求其热效率 η，以百分比计。

r = 17r_c = 3k = 1.4

η = %

8.气体动力循环困难

一座燃气轮机电站按布雷顿循环运行，压气机压比为 12。空气以 300 K 进入压气机，以 1100 K 进入涡轮。两台机器都是等熵的。采用冷空气标准假设：空气为比热容恒定的理想气体，k = 1.4，c_p = 1.005 kJ/(kg·K)，c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。求每千克空气的净输出功 w_net，以 kJ/kg 计。

r_p = 12T₁ = 300 KT₃ = 1100 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想气体定律

答案: V = 33.61 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 90/16.04 = 5.611 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

体积

V = nRT/P = 5.611·8.314·288.1/400 = 33.61 L

答案

V = 33.61 L

2.理想气体定律

答案: ρ = 4.607 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 700·16.04/(8.314·293.1) = 4.607 kg/m³

答案

ρ = 4.607 kg/m³

3.能量衡算

答案: t_out = 48.35 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

热流体放出的热量

Q = 1.5·2.44·(170 − 90) = 292.8 kW

水吸收的热量

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 292.8/(3·4.18) = 48.35 °C

答案

t_out = 48.35 °C

4.能量衡算

答案: ṁ_c = 2.802 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Q_h = 1·2.44·(150 − 70) = 195.2 kW

传给水的热量

Q_c = (1 − 0.1)·195.2 = 175.7 kW

水流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 175.7/(4.18·15) = 2.802 kg/s

答案

ṁ_c = 2.802 kg/s

5.热机和制冷机

答案: W_max = 1026 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/873.1 = 64.14 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6414·1600 = 1026 kJ

答案

W_max = 1026 kJ

6.热机和制冷机

答案: T_m = 387.5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

功相等

W = Q·(1 − T_low/T_high)，且每个热源的 Q/T 相同，所以 W 与温降成正比。

T_m = (1023 + 298.1)/2 = 660.6 K = 387.5 °C

答案

T_m = 387.5 °C

7.气体动力循环

答案: η = 57.96 %

狄塞尔循环（压燃式发动机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 等熵膨胀，4→1 定容放热。压缩比 r = v₁/v₂、预胀比 r_c = v₃/v₂ 时：T₂ = T₁·r^k−1，T₃ = r_c·T₂，q_in = c_p·(T₃ − T₂)，η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))。

预胀比项

(3^1.4 − 1)/(1.4·(3 − 1)) = 1.306

热效率

η = 1 − 0.322·1.306 = 57.96%

答案

η = 57.96%

8.气体动力循环

答案: w_net = 250.2 kJ/kg

布雷顿循环（燃气轮机）：1→2 等熵压缩，2→3 定压加热，3→4 在涡轮中等熵膨胀，4→1 定压放热。压比 r_p = P₂/P₁ 时：T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k，T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k，η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k。净功 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。考虑等熵效率时，压气机需要 w_s/η_c，涡轮输出 η_t·w_s。

等熵温度

T₂ = 300·12^0.2857 = 610.2 K

T₄ = 1100/12^0.2857 = 540.8 K

压气机功和涡轮功

w_c = 1.005·(610.2 − 300) = 311.7 kJ/kg

w_t = 1.005·(1100 − 540.8) = 562 kJ/kg

净功

w_net = 562 − 311.7 = 250.2 kJ/kg

答案

w_net = 250.2 kJ/kg

回功比：w_c/w_t = 55.47%。

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